Matematické Fórum

kastanek · 26. 02. 2020 20:34

Ahoj, dostali jsme úlohu z trigonometrie. Udělal jsem si obrázek, jsou tam pravoúhlé trojúhelníky, takže to vypadalo snadno, ale je tam nějak moc neznámých a brzy jsem se do toho zamotal. Tady je zadání úlohy, když tak mám i obrázek, ale snad je situace ze zadání jasná:
Skupina kopáčů kopala příkop s obdélníkovým průřezem. Když chtěli změřit jeho šířku, zjistili, že nemají žádné měřící pásmo, jen několik latí se známou délkou. Kopáč Alfons, zdatný v matematice, však vzal lať o délce 364 cm a zapřel ji jedním koncem v příkopu ve spodním rohu obdélníka a druhým koncem ji zapřel napříč (kolmo na příkop) o protější stěnu příkopu. Podobně pak umístil ve stejném místě lať o délce 175 cm, ale opačným směrem. Latě se tak překřížily v určité výšce nad dnem příkopu. Výška tohoto překřížení přesně odpovídala lati, o které věděl, že je dlouhá 80 cm. Nyní již snadno dopočetl šířku příkopu. Kolik cm je tato šířka?
Kdyby někdo náhodou věděl, budu rád za postup vedoucí k výsledku, případně i výsledek (máme to určit na tři desetinná místa). Děkuji.

Jj · 26. 02. 2020 21:05 — Editoval Jj (26. 02. 2020 21:08)

↑ kastanek:

Hezký den.

Řekl bych, že může být vhodné podívat se na řešení v principu podobné úlohy kněží boha Ra

(Pokud jsem Vaši úlohu bez náčrtku správně pochopil).

Honzc · 27. 02. 2020 11:27 — Editoval Honzc (27. 02. 2020 11:33)

↑ kastanek:
Je to tak jak píše ↑ Jj:. Řešení vede opravdu na algebraickou rovnici 4.stupně.
Když budeš postupovat, jak radí ↑ Jj: dostaneš:
Budeme počítat v metrech.
Označme: $a=1.75,b=3.64,v=0.8$ $m=b^{2}-a^{2}$ a $y^{2}=a^{2}-d^{2}$
$(\frac{5}{8}y^{2}-y)(y^{2}+m)+\frac{2}{5}m=0$
Rovnice by se dala řešit i algebraickými metodami, ale můžeš použít nějakou numerickou metodu (třeba Newtonovu)
pro ni platí:
$y_{k+1}=y_{k}-\frac{(\frac{5}{8}y^{2}_{k}-y_{k})(y^{2}_{k}+m)+\frac{2}{5}m}{(\frac{5}{4}y_{k}-1)(2y^{2}_{k}+m)-y^{2}_{k}}$
jako první odhad (aproximaci) použij třeba $y_{0}=1$ po několika krocích vyjde $y=1.05$ (přesně)
a potom $d=1.4$ m (také přesně) (na centimetry si to převeď sám-i s tou požadovanou přesností)

Po editaci
Tady to máš nakreslené

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

surovec

↑ kastanek:
Kopáč Alfons, zdatný matematik... Snadno dopočetl... :-)))
Hm, tady si dal někdo pořádnou práci s tím, aby to vycházelo přesně celočíselně. Vzhledem k té rovnici, která v obecném tvaru s danými hodnotami (délky latí) je docela komplikovaná, to muselo dát mnohem víc práce než samotné řešení...

vanok · 27. 02. 2020 12:59 — Editoval vanok (27. 02. 2020 13:37)

Poznamka.
Ide o velmi znamy problem.
Mozte si ho pozriet napr. tu
http://mathforum.org/library/drmath/view/55279.html
Alebo aj tu
https://en.wikipedia.org/wiki/Crossed_ladders_problem

( pochopitelne je tam ukazana methoda, numericke hodnoty si prisposobte).

Matematické Fórum

#1 26. 02. 2020 20:34

Trigonometrie – slovní úloha

#2 26. 02. 2020 21:05 — Editoval Jj (26. 02. 2020 21:08)

Re: Trigonometrie – slovní úloha

#3 27. 02. 2020 11:27 — Editoval Honzc (27. 02. 2020 11:33)

Re: Trigonometrie – slovní úloha

#4 27. 02. 2020 11:43 — Editoval surovec (27. 02. 2020 11:47)

Re: Trigonometrie – slovní úloha

#5 27. 02. 2020 12:59 — Editoval vanok (27. 02. 2020 13:37)

Re: Trigonometrie – slovní úloha

Zápatí