Matematické Fórum

theterka14 · 26. 02. 2020 19:14

Ahoj, mohl by mi prosím někdo pomoct s tímto příkladem, jak správně postupovat?

Zadání: $\int_{}^{}x × 4^{x} dx$

vím, že potřebuji jeden člen zderivovat a druhý integrovat, ale bohužel vůbec nevím, jak si poradit s tou $4^{x}$ , ať už jako derivace nebo integrace. Postup dál již vím.

Děkuji.

Ferdish

↑ theterka14:
Výhodné sa javí zvoliť si ako nederivovanú funkciu $u(x)=x$ a derivovanú $v'(x)=4^{x}$ , pretože potom pri úprave cez per partes $u'(x)=1$ a teda vypadne von z integrálu. Integrál z funkcie $4^{x}$ je tabuľkový (preberali ste snáď exponenciálne funkcie, nie?).

Jj · 26. 02. 2020 19:48 — Editoval Jj (26. 02. 2020 19:49)

↑ theterka14:

Hezký den.

$(a^x)', \, \int a^x\, dx$ jsou základní derivace, integrál , které je vhodné si zapamatovat (viz třeba Odkaz).

Vyjít se dá i z toho, že $4^x = e^{\ln 4^x} = e^{x\ln 4}$ , takže

$(4^x)'= (e^{x\ln 4})' = e^{x\ln 4} \cdot \ln 4= 4^x\cdot \ln 4$

$\int 4^x\, dx = \int e^{x\ln 4}\,dx = \frac{e^{x\ln 4}}{\ln 4} = \frac{4^x}{\ln 4}+ C$

Edit: sice pozdě, ale nechám.