Matematické Fórum

Sjuzn · 11. 03. 2016 22:12

//forum.matweb.cz/upload3/img/2016-03/30694_p%25C5%25A5iklad.jpg

nevím si rady s timto prikladem, zkousel jsem uz vsechny mozne vzorce,
diky za pomoc

zdenek1 · 12. 03. 2016 08:25

↑ Sjuzn:
Tohle vlastně není fyzika. Z fyziky potřebuješ jen vědět, že G bude v takové pozici, aby byl co nejníž (minimální potenciální energie)

Zbytek jsou počty
Pokud si zavedeš soustavu souřadnic tak, že v levém čepu je počátek a osy jsou jako obyčejně, pak musí platit (x,y - souřadnice bodu G)

$\underbrace{\sqrt{x^2+y^2}}_{L_1}+\underbrace{\sqrt{(18-x)^2+(2-y)^2}}_{L_2}=22$
po troše počítání dostaneš
$F(x,y):40x^2+120y^2-18xy-702x-78y-1521=0$
nyní derivace implicitně zadané fce
$F^\prime(x,y):40x+120yy^\prime-9y-9xy^\prime-39y^\prime-351=0$
a z toho
$y^\prime=\frac{351-40x+9y}{120y-9x-39}$
hledáš extrém, položíš derivaci rovnu nule, z toho $351-40x+9y=0$

no a řešením soustavy
$\begin{cases}40x^2+120y^2-18xy-702x-78y-1521=0\\351-40x+9y=0\end{cases}$
dostaneš souřadnice bodu G ve stabilní poloze (budou dvě, musíš vybrat správné)

dopočítat $L_1$ , $L_2$ už je hračka

Xellos · 12. 03. 2016 10:07

Trikove riesenie: vsimni si ze hladas najnizsi bod elipsy. Elipsu otoc, hladas k nej dotycnicu pod znamym uhlom (resp. tangensom uhlu). Natiahni jednu suradnicu, teraz to bude kruznica a k nej sa dotycnica hlada lahko.

JmenoNeznam · 26. 02. 2020 11:47

↑ zdenek1:

Omlouvám se, ale upřímně moc nerozumím, jak jste matematicky postupoval z první rovnice L1+L2=22 a jak potom dopočítat L1 a L2. Můžete mi to, prosim vás objasnit?
Děkuji

KennyMcCormick · 26. 02. 2020 19:56

Umíš vyřešit tu poslední soustavu?

$\begin{cases}40x^2+120y^2-18xy-702x-78y-1521=0\\351-40x+9y=0\end{cases}$

JmenoNeznam · 27. 02. 2020 11:05

↑ KennyMcCormick:

Nerozumím celému příkladu, upřímně.

MichalAld

↑ JmenoNeznam:

Potřebuješ rozumět zhruba těmto (nesouvisejícím) věcem:

1) Analytická geometrie v rovině, rovnice kuželoseček, obecná rovnice elipsy

2) Hledání extrémů funkcí

3) Derivace implicitně zadaných funkcí

4) Řešení soustavy dvou (lehce nelineárních) rovnic o dvou neznámých

Čemu z toho nerozumíš ?

Pokud čekáš, že ti tu někdo spočítá přímo hodnoty L1, L2, budeš asi zklamaný...i tak bych řekl, že už jste dostali nápovědy víc než dost, vzhledem k tomu, že jste to ve škole dostali jako samostatnou práci...

JmenoNeznam · 28. 02. 2020 20:29

↑ MichalAld:↑ MichalAld:↑ MichalAld:↑ MichalAld:↑ MichalAld:

Rozumím všem těmto tématům. Přesně to jsem očekával, abych to mohl z toho pochopit, jelikož z postupu to pochopím asi úplně nejlíp. Jako samostatnou úlohu jsme to nedostali, jen jsem bohužel chyběl ten den ve škole, v pondělí z toho píšem test a nikdo mi to nedokáže obrazně vysvětlit. Takže asi tak.

Al1 · 28. 02. 2020 21:51 — Editoval Al1 (28. 02. 2020 21:52)

↑ JmenoNeznam:
Zdravím,
doplň si do obrázku souřadnicový systém, jak radí
↑ zdenek1:
Levý čep má sozřadnice [0,0], pravý [18, 2], G[x,y]. Pro výpočet L_1, L_2 ti stačí Pythagorova věta ( nebo vztah pro výpočet vzdálenosti dvou bodů v rovině z analyt. geometrie). Rovnici uprav na L_2=22-L_1 a umocni. Uprav a znovu umocni ( řešení iracionálních rovnic).
Po sestavení soustavy (hledání extrémů) ji vyřeš dosazovací metodou.

JmenoNeznam · 01. 03. 2020 11:51

Po upravení rovnice na výraz L_2=22-L_1 mi vyšel výraz 36x+4y+156=22..√x^2+y^2. Pokud znovu umocním, vychází šílený čísla, z kterých už nevim, kudy ven. Dokážete mi, prosim Vás, ještě nějak poradit?

MichalAld · 01. 03. 2020 12:09

↑ JmenoNeznam:
Musíš dát (po prvním umocnění) na jednu stranu tu odmocninu a na druhou vše ostatní...

Zatím jsem to nezkoušel, ale předpokládám, že před druhým umocněním by se měla všechna $x^2, y^2$ vyrušit...

JmenoNeznam · 01. 03. 2020 12:13

↑ MichalAld:
To tak jakoby mám, ne? Jak jsem právě psal ve zprávě před. Ale po druhým umocnění vyjdou naprostý šílenosti,s kterými se už, já osobně, nikam nedopracuji.

MichalAld · 01. 03. 2020 12:35

Tak napiš, co máš...

JmenoNeznam

↑ MichalAld:

Já právě myslel, že sis toho všiml, tak to se omlouvám. Psal jsem to ve zprávě nad.
Po prvním umocnění mi vyšlo 36x+4y+156=22.√x^2+y^2
a po dalším umocnění a úpravě vyjde 203x^2+72xy+2808x-117y^2+312y+6084=0

MichalAld

Myslíš jako

$36x+4y+156=22 \sqrt{x^2+y^2}$

Podle "wolfram matematica" to máš nejspíš chybně, protože to je rovnice hyperboly a né elipsy. Ten přechod k

$203x^2+72xy+2808x-117y^2+312y+6084=0$

je správně, ale už ta první rovnice obsahuje nějakou chybu.

Mělo by to být

$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{(18-x)^2+(2-y)^2}=22$

$\sqrt{(18-x)^2+(2-y)^2}=22-\sqrt{x^2+y^2}$

$(\sqrt{(18-x)^2+(2-y)^2})^2=(22-\sqrt{x^2+y^2})^2$

$(18-x)^2+(2-y)^2=(22-\sqrt{x^2+y^2})^2$

A po roznásobení

$11 \sqrt{x^2 + y^2} = 9 x + y + 39$

Tobě vychází (po zkrácení dvojkou)

$11 \sqrt{x^2+y^2}= 18x+2y+78$
$11 \sqrt{x^2+y^2}= 2(9x+y+39)$

Někde se ti tam holt dostala (nebo nedostala) ta dvojka, není to velká chyba, určitě to najdeš.

JmenoNeznam · 01. 03. 2020 13:48

↑ MichalAld:
už jsem to našel. Protože po umocnění pravé strany jsem místo 2ab udělal jenom ab. Ale teď právě nevím, jak mám postupovat dál, abych se dobral k výsledku. Nějaká rada ještě, prosím?

MichalAld · 01. 03. 2020 14:12

Když už to máš v tomhle tvaru

$11 \sqrt{x^2 + y^2} = 9 x + y + 39$

tak to umocni ještě jednou. Tím ti ta odmocnina definitivně zmizí a získáš obecnou rovnici elipsy, ve tvaru

$40 x^2 - 18 x y - 702 x + 120 y^2 - 78 y - 1521 = 0$

Poté nastoupí derivování funkce v implicitním tvaru (to už je jednoduché).

JmenoNeznam · 01. 03. 2020 14:33

Jasný. K tomu jsem se už taky dostal. Jak je výše zmíněno: y'=351-40x+9y/120y-9x-39
Ale právě v tomhle kroku už se nevyznám, proč a co dělat.

MichalAld · 01. 03. 2020 14:33

Pokud jde o tu derivaci, tak pokud máme funkci v implicitním tvaru, tedy

$F(x,y_{(x)}) = 0$

tak její derivace je

$y' = -\frac{\frac{\partial}{x} F(x,y)}{\frac{\partial}{y} F(x,y)}$

Vzhledem k tomu, že to pak budeš pokládat rovné nule, tak ten jmenovatel nemusíš v prinicipu ani počítat...

JmenoNeznam · 01. 03. 2020 14:40

↑ MichalAld:
Se omlouvám, asi jsem to špatně napsal. Implicitní funkci už jsem zderivoval do toho právě námi chtěného tvaru. tedy, že mám 2 soustavy rovnic, které jsme zde (spolu) vypočítali. Hádám teď, že si z té menší vyjádřim buď x nebo y a pouze dosadím do první rovnice.

MichalAld · 01. 03. 2020 14:42

↑ JmenoNeznam:

No, protože hledáš extrém, položíš derivaci rovnou nule.

Kdyby to byla normálně explicitně zadaná funkce (y = f(x)), tak by tohle stačilo, položit její derivaci rovnou nule a najít příslušné x.

Jenže my máme funkci zadanou implicitně, takže její derivace obsahuje nejen x, ale i y.

Musíme tedy použít ještě i tu původní funkci, abychom našli x.

Když tedy máš

$y'=\frac{351-40x+9y}{120y-9x-39} = 0$

tak po vynásobení jmenovatelem dostaneš prostě

$351-40x+9y = 0$

Vyjádříš z toho y (nebo x, je to jedno, co půjde lépe ... ono jde obojí blbě)

a pak to dosadíš do původní rovnice, tedy do

$40 x^2 - 18 x y - 702 x + 120 y^2 - 78 y - 1521 = 0$

Je to zase kupa násobení, ale nakonec dostaneš kvadratickou rovnici pro x (nebo pro y, záleží jak ses rozhodl). Má ovšem dvě řešení, musíš vybrat to správné.

Takto by to mělo vyjít:

JmenoNeznam · 01. 03. 2020 15:01

↑ MichalAld:
Nějak jsem se k tomu dopočítal. Děkuju moc. Teď to jdu ještě udělat na moje zadání a uvidíme, zda se dohrabu k zelené fajfce :D

MichalAld · 01. 03. 2020 15:10

Pro kontrolu můžeš využít webovou stránku wolframalpha.com, celkem to tam hezky všechno chodí.

Matematické Fórum

#1 11. 03. 2016 22:12

rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#2 12. 03. 2016 08:25

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#3 12. 03. 2016 10:07

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#4 26. 02. 2020 11:47

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#5 26. 02. 2020 19:56

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#6 27. 02. 2020 11:05

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#7 27. 02. 2020 12:02 — Editoval MichalAld (27. 02. 2020 12:04)

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#8 28. 02. 2020 20:29

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#9 28. 02. 2020 21:51 — Editoval Al1 (28. 02. 2020 21:52)

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#10 01. 03. 2020 11:37 Příspěvek uživatele JmenoNeznam byl skryt uživatelem JmenoNeznam.

#11 01. 03. 2020 11:51

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#12 01. 03. 2020 12:09

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#13 01. 03. 2020 12:13

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#14 01. 03. 2020 12:35

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#15 01. 03. 2020 12:46 — Editoval JmenoNeznam (01. 03. 2020 12:47)

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#16 01. 03. 2020 13:16 — Editoval MichalAld (01. 03. 2020 13:19)

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#17 01. 03. 2020 13:48

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#18 01. 03. 2020 14:12

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#19 01. 03. 2020 14:33

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#20 01. 03. 2020 14:33

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#21 01. 03. 2020 14:40

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#22 01. 03. 2020 14:42

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#23 01. 03. 2020 15:01

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

#24 01. 03. 2020 15:10

Re: rovnovážná poloha hmotného bodu o tíze G volně pohyblivého po lane

Zápatí