Matematické Fórum

anddry97 · 01. 03. 2020 15:22

Zdravím, není mi, nepochybně kvůli nedostatkům z analýzy, jasný přechod mezi proměnnýmui v tomhle řešeném integrálů. Proč jsou substituovaná horní mez mv?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-03/72567_88174052_532869934027899_6782383595295080448_n.jpg

laszky · 01. 03. 2020 15:41

↑ anddry97:

Ahoj, on totiz zapis $\int_0^s\cdots \mathrm{d}s$ je tak trochu nesmysl. Ale co, je to fyzika, ne matika...
Jinak, k tomu vysledku, ktery tam maji, dospeli obycejnou substituci $s=mv$ , pak $\mathrm{d}s=\mathrm{d}(mv)$ a $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=v$ .

MichalAld · 01. 03. 2020 15:47

laszky napsal(a):
↑ anddry97:

Ahoj, on totiz zapis $\int_0^s\cdots \mathrm{d}s$ je tak trochu nesmysl.

No jo, ale jak bys to chtěl psát, aby to nesmysl nebyl ?

laszky · 01. 03. 2020 15:51

↑ MichalAld:

Ty promenny se musi jmenovat jinak. Napr. je-li $F=F(s)$ , potom

$T(s) = \int_0^s F(\sigma)\,\mathrm{d}\sigma$

anddry97 · 01. 03. 2020 15:54

Díky.

Bati · 01. 03. 2020 16:12 — Editoval Bati (01. 03. 2020 16:13)

↑ MichalAld:
Souhlasim s laszky, je to dost odbyte napsany, na to ze to je nejaka knizka. V tomhle pripade bych urcite psal u funkci promenny, neni totiz ani jasny, co na cem zavisi

MichalAld

↑ laszky:
No, to je takový první pohled, který je také dost zjednodušený.

Představa síly závislé na jedné proměnné je vlastně taky nesmysl. Síla ve skutečnosti závisí na prostorových souřadnicích, tedy F = F(x,y,z).

Navíc je tam nevyřčený předpoklad, že velikost síly závisí JENOM na prostorových souřadnicích, a né třeba na jejich časových derivacích (rychlosti). V systémech, co zachovávají energii musí síla (nebo aspoň ta její složka, co vykonává práci) záviset jen na souřadnicích. A v systémech, co energii nezachovávají ji zase nemá velký smysl definovat.

Takže ve skutečnosti předpokládáme, že máme nějakou (parametricky definovanou) křivku r(q), ke které máme směrový vektor r'(q), a ještě mám pocit, že ten vektor musí být jednotkový, takže r'(q)/|r'(q)|, takže matematicky správný tvar výrazu

$\int Fds$

by byl

$\int^{q_2}_{q_1} \overrightarrow{F(r_{(q)})} \cdot \frac{\overrightarrow{r'(q)}}{|r'(q)|}dq$

což je ovšem trochu kontra-intuitivní s představou, že jde o součet (integrál) síly krát element délky.

MichalAld · 01. 03. 2020 17:14

Já zas třeba tak nějak nechápu význam integrálu

$\int v d(mv)$

případně třeba funkce typu v = v(mv)

Brano · 02. 03. 2020 14:12

Skusim take vysvetlenie, kde je co najmenej fyziky - iba pridam par krokov ktore by mali osvetlit co bolo zamlcane

mame
$\int_0^s\frac{d}{dt}(mv)ds$
pomocny krok: nezavislu premenna $s$ substituujeme $s=s(t)$ (nezavisla bude $t$ )
t.j. $ds=\frac{ds}{dt}dt=vdt$
$\int_{t_0}^{t_1}\frac{d}{dt}(mv)vdt$
substitucia $p=mv$ nezavisla premenna uz nebude $t$ ale $p$ a preto potrebujeme $dt=\frac{dt}{dp}dp$
$\int_{p_0}^{p_1}\frac{d}{dt}(p)v\frac{dt}{dp}dp$
a uz si staci uvedomit, ze $p_0=0$ a $p_1=mv$ - presnejsie $mv(t_1)$ . pozor pismeno $v$ pouzivaju v dvoch roznych vyznamoch: ako funkciu a ako koncovy stav - to je nestastne
$\int_0^{mv}vdp$
pricom oni miesto $dp$ pisu $d(mv)$