Matematické Fórum

Cukiec · 10. 03. 2020 09:57

Dobrý den,
při řešení příkladů do fyziky jsem narazil na příklad, na který nemohu najít řešení.

Příklad : Jakou práci je třeba vykonat, aby se válec o m= 100kg s poloměrem podstavy 30cm roztočil s frekvencí 5 Hz, je-li na počátku v klidu ?

Nemohu najít vztah mezi prací a frekvencí... Jsem asi stupidní nebo mi tu něco uniká.

Prosím o radu

Děkuji

Ferdish

Práca je v tomto prípade rovná kinetickej energii rotačného pohybu

$E_k=\frac{1}{2}I\omega ^{2}$

kde $I$ je moment zotrvačnosti uvažovaného telesa (tu valec rotujúci okolo osi, ktorá prechádza stredmi jeho podstáv) a $\omega$ je uhlová frekvencia rotačného pohybu (pozor, nemýliť si s "obyčajnou" frekvenciou).

Cukiec · 10. 03. 2020 10:52

Děkuji za rychlou odpověď
Úhlovou frekvenci zjistím tímto vztahem.

$\omega = 2\pi*f$

A moment setrvačnosti mohu vypočítat

$I = \int_{m}^{}r^{2}dm$

Chápu to správně ?

Ferdish · 10. 03. 2020 11:00

Áno.

Cukiec · 10. 03. 2020 11:30

Supr. Děkuji
Ještě se vrátím k momentu setrvačnosti.

Po dosazení do

$I=\int_{m}^{}r^{2}dm$

údaji ze zadání =>

$I=\int_{100}^{}30^{2}dm = [900m]^{100} = 90000$

Je to tak ?

Ferdish · 10. 03. 2020 11:37

↑ Cukiec:
Takto určite nie...je potrebné integrovať. Vieš ako sa to robí? Alebo je to príklad zo strednej školy a teda integrály ste sa ešte neučili?

MichalAld

Pokud si chceš vzorec pro moment setrvačnosti válce odvodit (lze jej samozejmě také najít) ... tak je nutno postupovat náledujícím způsobem:

Jednak element hmotnosti dm je třeba rozložit na součin hustoty a objemu ... protože předpokládáme, že hustota je v celém objemu konstantní, takže ji můžeme dát před integrál.

Dále - válec je třeba "rozložit" na tenkré prstence o poloměru r a dloušťce dr a výšce h ... objem každého z prstenců je
$dV = 2 \pi r h dr$

Takže když to shrnu,

$I = \int r^2 dm = \rho \int r^2 dV = \rho \int r^2 (2 \pi h r) dr = 2 \pi h \rho \int r^3 dr = 2 \pi h \rho \frac{r^4}{4}$

$I = 2 \pi h \rho \frac{r^4}{4} = (\pi r^2h\rho) \frac{r^2}{2} = V \rho \frac{r^2}{2} = \frac{1}{2} mr^2$

Moment setrvačnosti válce je tedy (vztaženo k ose válce, což je náš případ).

$I = \frac{1}{2} mr^2$

Cukiec · 10. 03. 2020 12:33 — Editoval Cukiec (10. 03. 2020 12:51)

Ferdish napsal(a):
↑ Cukiec:
Takto určite nie...je potrebné integrovať. Vieš ako sa to robí? Alebo je to príklad zo strednej školy a teda integrály ste sa ešte neučili?

Jedná se o maturitní příklad. Integrály jsme se v matematice učili.

Už jsem našel problém. dm jsem bral jako dr. Tak základní chyba.... Holt... Za ten půl rok jsem toho docela dost zapomněl z integrálů.

Ferdish · 10. 03. 2020 12:57

↑ Cukiec:
Ak ideš maturovať, tak Ti držím palce nech to vyjde. A ak úž máš náhodou po maturite, tak Ti ich držím aj tak :-)

Cukiec · 10. 03. 2020 13:06

Ferdish napsal(a):
↑ Cukiec:
Ak ideš maturovať, tak Ti držím palce nech to vyjde. A ak úž máš náhodou po maturite, tak Ti ich držím aj tak :-)

Před maturitou a děkuji... Snad to vyjde. Ale každopádně si musím opakovat integrály... Nejspíše se v dalších příkladech objeví.

Ferdish

Cukiec napsal(a):
Ferdish napsal(a):
↑ Cukiec:
Ak ideš maturovať, tak Ti držím palce nech to vyjde. A ak úž máš náhodou po maturite, tak Ti ich držím aj tak :-)
Před maturitou a děkuji... Snad to vyjde. Ale každopádně si musím opakovat integrály... Nejspíše se v dalších příkladech objeví.

Tak neviem, do akej hĺbky ste integrály používali v rámci fyziky. Zrovna výpočet momentu zotrvačnosti telesa vzhľadom na nejakú os pomocou integrálu patrí k prvým aplikáciám integrálu, ktoré robia študentom na VŠ prvé problémy (integrovanie v rámci dynamiky hmotného bodu je oproti tomu prechádzka ružovým sadom).

V rámci SŠ fyziky by som teda čakal, že mi bude umožnené nájsť hodnotu momentu zotrvačnosti príslušného telesa buď v MFCH tabuľkách, alebo priamo bude uvedené v zadaní. Ale ako som povedal - nepoznám úroveň fyziky na tvojej škole.

Cukiec · 10. 03. 2020 14:26

Ferdish napsal(a):
Cukiec napsal(a):
Ferdish napsal(a):
↑ Cukiec:
Ak ideš maturovať, tak Ti držím palce nech to vyjde. A ak úž máš náhodou po maturite, tak Ti ich držím aj tak :-)
Před maturitou a děkuji... Snad to vyjde. Ale každopádně si musím opakovat integrály... Nejspíše se v dalších příkladech objeví.
Tak neviem, do akej hĺbky ste integrály používali v rámci fyziky. Zrovna výpočet momentu zotrvačnosti telesa vzhľadom na nejakú os pomocou integrálu patrí k prvým aplikáciám integrálu, ktoré robia študentom na VŠ prvé problémy (integrovanie v rámci dynamiky hmotného bodu je oproti tomu prechádzka ružovým sadom).

V rámci SŠ fyziky by som teda čakal, že mi bude umožnené nájsť hodnotu momentu zotrvačnosti príslušného telesa buď v MFCH tabuľkách, alebo priamo bude uvedené v zadaní. Ale ako som povedal - nepoznám úroveň fyziky na tvojej škole.

U nás na gymnáziu jsme ve fyzice integrály neprobrali. Každopádně... Děkuji za objasnění. Budu si na to dávat pozor.

MichalAld · 10. 03. 2020 15:52

Odvození vzorce pro moment setrvačnosti konkrétního tělesa podle mě u maturity být nemůže. Né že by to bylo (zrovna u válce) tak těžké, ale je k tomu potřeba trochu ovládat ten formalismus, co se používá ve fyzice, a to se na střední škole pokud vím nedělá.

Jinak všechna tělesa mají moment setrvačnosti dle vztahu

$I = C m r^2$

jen má každý tvar svoji konstantu C (no, někdy tam není r^2 ale nějaké jiné rozměry na druhou...ale v principu je to pořád stjené).

Konstanty pro základní tělesa jsou třeba tady.

MichalAld · 10. 03. 2020 15:58

Ferdish napsal(a):
Zrovna výpočet momentu zotrvačnosti telesa vzhľadom na nejakú os pomocou integrálu patrí k prvým aplikáciám integrálu, ktoré robia študentom na VŠ prvé problémy (integrovanie v rámci dynamiky hmotného bodu je oproti tomu prechádzka ružovým sadom).

A ty se divíš? Vždyť on je to vlastně trojný integrál ... a spočítat ho analyticky pro nějaké obecné těleso snad ani rozumě nejde...

Jen při nějaké šikovné symetrii to lze převést na jednoducý integrál ... vlastní integrování je vlastně ten nejmenší problém, pokud vím..

Ferdish

↑ MichalAld:
Kto povedal, že sa divím? :-) V tomto prípade (a i v mnohých iných) je ten trojný integrál šikovne "skrytý", pretože vďaka intuitívne vhodne zvolenému objemovému elementu si vystačíme s jedinou premennou (r) a ani si neuvedomíme, že vlastne integrujeme v cylindrických (valcových) súradniciach :-).

A keď ešte do toho využijeme Steinerovu vetu, tak sme úplní králi...až kým nepríde na rad nejaké netriviálne teleso :-)

Matematické Fórum

#1 10. 03. 2020 09:57

Práce potřebná k roztočení válce

#2 10. 03. 2020 10:19 — Editoval Ferdish (10. 03. 2020 10:20)

Re: Práce potřebná k roztočení válce

#3 10. 03. 2020 10:52

Re: Práce potřebná k roztočení válce

#4 10. 03. 2020 11:00

Re: Práce potřebná k roztočení válce

#5 10. 03. 2020 11:30

Re: Práce potřebná k roztočení válce

#6 10. 03. 2020 11:37

Re: Práce potřebná k roztočení válce

#7 10. 03. 2020 11:59 — Editoval MichalAld (10. 03. 2020 12:00)

Re: Práce potřebná k roztočení válce

#8 10. 03. 2020 12:33 — Editoval Cukiec (10. 03. 2020 12:51)

Re: Práce potřebná k roztočení válce

Ferdish napsal(a):

#9 10. 03. 2020 12:34 Příspěvek uživatele Cukiec byl skryt uživatelem Cukiec. Důvod: Shrnuto do jedné zprávy

#10 10. 03. 2020 12:37 Příspěvek uživatele Cukiec byl skryt uživatelem Cukiec. Důvod: Shrnuto do jedné zprávy

#11 10. 03. 2020 12:57

Re: Práce potřebná k roztočení válce

#12 10. 03. 2020 13:06

Re: Práce potřebná k roztočení válce

Ferdish napsal(a):

#13 10. 03. 2020 13:32 — Editoval Ferdish (10. 03. 2020 13:32)

Re: Práce potřebná k roztočení válce

Cukiec napsal(a):

Ferdish napsal(a):

#14 10. 03. 2020 14:26

Re: Práce potřebná k roztočení válce

Ferdish napsal(a):

Cukiec napsal(a):

Ferdish napsal(a):

#15 10. 03. 2020 15:52

Re: Práce potřebná k roztočení válce

#16 10. 03. 2020 15:58

Re: Práce potřebná k roztočení válce

Ferdish napsal(a):

#17 10. 03. 2020 16:27 — Editoval Ferdish (10. 03. 2020 16:29)

Re: Práce potřebná k roztočení válce

Zápatí