Matematické Fórum

Matytus · 09. 03. 2020 17:13

Dobrý den,
prosím o nakopnutí k tomuto příkladu: Dokažte, že ze stavové rovnice ideálního plynu $pV=nRT$ vyplývá: $\frac{\partial p}{\partial V}\frac{\partial V}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial p}=-1$ . Vyjádřil jsem si pro každou proměnnou funkční vztah a zderivoval, ovšem to mi nevychází.Nebo se zde jedná o smísené derivace?

Ferdish

↑ Matytus:
Postupoval si správne, akurát po vzájomnom vynásobení výrazov pre parciálne derivácie a vykrátení veličín sa znova pozri na pôvodnú rovnicu :-)

Matytus · 09. 03. 2020 18:19

↑ Ferdish:
Děkuji,
když mám tedy pro $p=\frac{nRT}{V}\Rightarrow \frac{\partial p}{\partial V}=-\frac{nRT}{V^{2}}$ , $V=\frac{nRT}{p}\Rightarrow \frac{\partial V}{\partial T}=\frac{nR}{p}$ , $T=\frac{pV}{nR}\Rightarrow \frac{\partial V}{\partial T}=\frac{V}{nR}$ ?Když vynásobím, moc se mi nekrátí.Dělám chybu ve vyjádření?

Kenniicek · 09. 03. 2020 19:05

↑ Matytus:

Nerobis nic zle (az na preklep za sipkou pri "T", ale to je drobnost). Skus urobit to, co ti napisal vyssie Ferdish. Popripade , ak to mam napisat inak, zamysli sa, comu sa rovna: $\frac{pV}{nRT}=$ respektive $-\frac{pV}{nRT}=$

Matytus

↑ Kenniicek:
Po vynásobení mi vyšlo $-\frac{nRT}{pV}$ , tudíž záporná převrácena hodnota výrazu $\frac{pV}{nRT}$ .

Ferdish · 09. 03. 2020 20:18

↑ Matytus:
A čo tak do výrazu $-\frac{nRT}{pV}$ skúsiť dosadiť za čitateľa alebo menovateľa práve z rovnice $pV=nRT$ , hm?

ježek · 10. 03. 2020 13:59

Ta rovnost ${\partial }V=-{\partial }V$ je tam proto, že oba diferenciály jdou k nule?

Ferdish · 10. 03. 2020 14:38

↑ ježek:
Kde takú rovnosť vidíš?

ježek · 10. 03. 2020 15:45

↑ Ferdish:
Normálně jsem krátil, jako by to byly zlomky.

Ferdish

↑ ježek:
To ale nie sú zlomky, ale parciálne derivácie.

Použitie Leibnizovho značenia pre deriváciu funkcie $f$ podľa premennej $x$ ako $\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}$ (eventuálne parciálnej derivácie ako $\frac{\partial f}{\partial x}$ ) k tomu zvádza, ale nie je to matematicky korektný postup.

Rovnakou úvahou (krátením a ponechaním jedinej premennej) by si tiež došiel k záveru ${\partial }p=-{\partial }p$ alebo ${\partial }T=-{\partial }T$ .

Viac by sa k tomu vedel vyjadriť kolega MichalAld.

ježek · 10. 03. 2020 16:25

Ferdish napsal(a):
↑ ježek:
nie je to matematicky korektný postup.

Toho jsem se obával. :)

MichalAld · 10. 03. 2020 17:50

Ferdish napsal(a):
Viac by sa k tomu vedel vyjadriť kolega MichalAld.

No to si nejsem úplně jistý, tady ta termodynamika zrovna nepatří mezi moje nejsilnější stránky.

Ty úpravy, co s tak velkou oblibou dělají fyzikové, tedy ve stylu

$dW = F ds = m\frac{dv}{dt}ds = m \frac{ds}{dt}dv = mvdv$

jsou takzvané formální úpravy. Ty členy typu ds či dt nemají samy o sobě žádný přesný matematický význam, nebo jen nějaký extrémně abstraktní. Na druhou stranu, v reálném světě můžeme tyto nekonečně malé elementy nahradit konečně malými elementy, a získat tak nějakou reálnou představu o tom, co vlastně děláme.

Tyhle úpravy by mělo jít vždy zapsat nějakým matematicky korektním způsobem (ale přiznám se, že né vždy se mi to podařilo vymyslet).

Každopádně bychom za tím měli vidět nějakou tu funkci, kterou derivujeme.

U parciálních derivací je to obzvlášť ošidné, protože máme funkci více proměnných.

Tenhle příklad je ovšem nějaký vyumělkovaný ... a nikdy jsem se s ničím takovým v termodynamice nesetkal.

V tomto příkladě jde totiž o 3 různé funkce,

p = p(V, T)
V = V(p, T)
T = T(p, V)

S tímhle se v termodynamice setkáme málokdy, zpravidla si vybereme nějaké dvě proměnné jako nezávislé, a ostatní veličiny vyjadřujeme pomocí těchto funkcí. Běžně se používají jako nezávislé V a T, protože umožňují zkoumat děje "za konstantního objemu" což nám situaci dost zjednoduší. Chemici naproti tomu milují nezávislé proměnné p a T ... protože jim se mnohem lépe dělají experimenty "za konstantního tlaku (atmosférického)", i když to věci po teoretické stránce lehce komplikuje.

Každopádně - tady máme tři funkce, které samozřejmě nejsou úplně nezávislé, protože jde o ideální plyn ... stačí je tedy vyjádřit z toho implicitního tvaru stavové rovnice, poderivovat podle příslušných proměnných a dostaneme:

$\frac{\partial p}{\partial V}\frac{\partial V}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial p}=-\frac{nRT}{pV}$

Protože však víme, že platí $pV = nRT$ , tedy že platí $\frac{nRT}{pV} = 1$ , můžeme to dosadit do té předchozí rovnice a získáme co získáme (že se to rovná -1).

MichalAld · 10. 03. 2020 18:07

To, že nemůžeme jednotlivé symboly parciálních derivací proti sobě krátit je nejspíš důsledkem toho, že jde o 3 různé funkce. Krátit bychom je mohli v případě, že by šlo o složené funkce, ale to není tento případ.

Kdybychom třeba měli nějakou složenou funkci (ukážu to jen pro funkci jedné proměnné)

$f(g(x))$

Tak její derivaci vypočítáme jako

$f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Což by se formálně zapsalo jako:

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{dg}\cdot \frac{dg}{dx}$

Potom to vypadá, že ta dg proti sobě opravdu můžeme vykrátit.

Ale v tom případě se stavovou rovnicí to tak není ... kdybychom třeba vyjádřili tlak jako funkci objemu a teploty, tedy p = nRT/V, a objem následně také jako funkci teploty, tedy V = V(T), tak bychom nějaké to "krácení" či "rozšiřování" dělat mohli, tedy

$\frac{dp}{dT} = \frac{\partial p}{\partial T} + \frac{\partial p}{\partial V} \cdot \frac{\partial V}{\partial T}$

Upozorňuji ale, že tohle je nějaká úplně speciální narafičená situace, a ten vztah mezi objemem a teplotou (V=V(T)) musíme zařídit nějak extra, samotý plyn nám ho nezařídí, tam jsou to nezávislé veličiny.

Můžeme si zde ovšem demonstrovat rozdíl mezi symbolem obyčejné a parciální derivace ... protože když používáme tyhle složené funkce typu f(g(x)), případně f(g(x,y),h(x,y)) můžeme pomocí nich rozlišovat, kterou část ze složené funkce máme na mysli.

ježek · 10. 03. 2020 19:41

Asi jsem se "inspiroval" tou složenou funkcí. Díky za vysvětlení.

Matematické Fórum

#1 09. 03. 2020 17:13

Parciální derivace - odvození vztahu

#2 09. 03. 2020 17:43 — Editoval Ferdish (09. 03. 2020 17:44)

Re: Parciální derivace - odvození vztahu

#3 09. 03. 2020 18:19

Re: Parciální derivace - odvození vztahu

#4 09. 03. 2020 19:05

Re: Parciální derivace - odvození vztahu

#5 09. 03. 2020 19:25 — Editoval Matytus (09. 03. 2020 19:26)

Re: Parciální derivace - odvození vztahu

#6 09. 03. 2020 20:18

Re: Parciální derivace - odvození vztahu

#7 10. 03. 2020 13:59

Re: Parciální derivace - odvození vztahu

#8 10. 03. 2020 14:38

Re: Parciální derivace - odvození vztahu

#9 10. 03. 2020 15:45

Re: Parciální derivace - odvození vztahu

#10 10. 03. 2020 16:09 — Editoval Ferdish (10. 03. 2020 16:15)

Re: Parciální derivace - odvození vztahu

#11 10. 03. 2020 16:25

Re: Parciální derivace - odvození vztahu

Ferdish napsal(a):

#12 10. 03. 2020 17:50

Re: Parciální derivace - odvození vztahu

Ferdish napsal(a):

#13 10. 03. 2020 18:07

Re: Parciální derivace - odvození vztahu

#14 10. 03. 2020 19:41

Re: Parciální derivace - odvození vztahu

Zápatí