Matematické Fórum

Kája2 · 14. 03. 2020 07:59

Dobrý den,
prosím o kontrolu druhé derivace implicitně zadané funkce. Už to počítám snad po šesté a stále mi nesedí s výsledkem. Je dána funkce $(x^{2}+y^{2})^{2}-3x^{2}y-y^{3}=0$ .První derivace mi vyšla (bylo řešené i v příkladech) $4x^{3}+4x^{2}yy'+4xy^{2}+4y^{3}y'-6xy-3x^{2}y'$ , druhá derivace pak $12x^{2}+8xyy'+4x^{2}(y')^{2}+4x^{2}yy''+4y^{2}8xyy'+12y^{2}(y')^{2}+4y^{3}y'-6y-6xy'-6xy'-3x^{2}y''$ . Už opravdu nevím, kde jsem se seknul.

Jj · 14. 03. 2020 10:25

↑ Kája2:

Hezký den. Pokud předpokládám, že druhá derivace uvedená v otázce je opis z výsledků příkladu, tak těžko hádat, kde jste se seknul, když není vidět, jak konkrétně derivujete.

Pokud jen opravím překlepy a uvedu druhou derivaci každého členu první derivace pro přehled na samostatný řádek, dostanu

$12x^{2}\nl8xyy'+4x^{2}(y')^{2}+4x^{2}yy''\nl4y^{2}\color{red}+\color{black}8xyy'\nl12y^{2}(y')^{2}+4y^{3}\color{red}y''\color{black}\nl-6y-6xy'\nl-6xy'-3x^{2}y''$

Tyto derivace se při uvážení toho, že jak y tak y' jsou funkcí x dají prakticky dělat z hlavy při aplikaci pravidla derivace součinu funkcí. Takže by to myslím chtělo uvést, kde se lišíte a jak jste v tom případě derivoval.

Kája2 · 14. 03. 2020 10:35 — Editoval Kája2 (14. 03. 2020 10:36)

↑ Jj:
Dobrý den,
v zadání bylo určit první i druhou derivaci, ale řešená byla pouze první, druhá není opisem. Za překlepy se omlouvám, vše jsem derivoval dle pravidel, i dle pravidla derivace součinu. Ano, Vámi upravené věci mám i na papíře, přesto mi to stále nevychází, má se derivovat v bodě (0,1) mne vychází $-\frac{1}{2}$ a má být $-\frac{2}{3}$ .

Jj · 14. 03. 2020 13:20 — Editoval Jj (14. 03. 2020 13:21)

↑ Kája2:

Řekl bych, že druhá implicitní derivace je (při opravě překlepů) vypočítána správně.

Pak mi při dosazení (x, y, y') = (0, 1, 0) vychází y''(0, 1) = +1/2.

A podle náčrtku Odkaz je v bodě (0,1) minimum, tudíž by v něm měla být druhá derivace > 0.

Pokud něco nepřehlížím, tak ve výsledku není uvedena správná hodnota.

Kája2 · 14. 03. 2020 14:52

↑ Jj:
Moc Vám děkuji. Už jsem byl opravdu bezradný, počítal jsem to asi šestkrát stále vycházelo stejně.

surovec · 14. 03. 2020 20:57

↑ Kája2:
Nechybí ti v té první derivaci ještě $-3y^2y'$ ?
Pak by druhá derivace byla (člen po členu)
$12x^{2}=0\nl 8xyy'+4x^{2}(y')^{2}+4x^{2}yy''=0\nl 4y^{2}+8xyy'=4\nl 12y^{2}(y')^{2}+4y^{3}y''=4y''\nl -6y-6xy'=-6\nl -6xy'-3x^{2}y''=0\nl \color{red}-6y(y')^2-3y^2y''=-3y''$
Celkem tedy $4+4y''-6-3y''=0$ , z toho pak $y''=2$ , což mi vyšlo i dosazením do toho hnusného vzorce pro druhou derivaci implicitní funkce...

Jj · 14. 03. 2020 22:32

↑ surovec:

Zdravím a díky za následnou kontrolu.

Takže to vypadá tak, že jsem chybu v první derivaci bohužel přehlédl (i když jsem derivaci určitě kontroloval). Kolegovi ↑ Kája2: se omlouvám a protože už označil dotaz jako vyřešený, informuji jej e-mailem.

Matematické Fórum

#1 14. 03. 2020 07:59

Derivace implicitní funkce

#2 14. 03. 2020 10:25

Re: Derivace implicitní funkce

#3 14. 03. 2020 10:35 — Editoval Kája2 (14. 03. 2020 10:36)

Re: Derivace implicitní funkce

#4 14. 03. 2020 13:20 — Editoval Jj (14. 03. 2020 13:21)

Re: Derivace implicitní funkce

#5 14. 03. 2020 14:52

Re: Derivace implicitní funkce

#6 14. 03. 2020 20:57

Re: Derivace implicitní funkce

#7 14. 03. 2020 22:32

Re: Derivace implicitní funkce

Zápatí