Matematické Fórum

theterka14 · 16. 03. 2020 12:47

Ahoj, máme zadání rozklad racionální funkce na parciální zlomky, kdy máme jen rozložit a koeficienty nepočítat. Vůbec si nevím rady, jak zde postupovat.

zadání je: $\frac{x+ 3}{(x^{2}+ 4)(x+ 2)^{2}(x^{2}-1)}$

já bych si to upravila na $\frac{x+ 3}{(x^{2}+ 4)(x+ 2)^{2}(x-1)(x+ 1)}$ a nahoru do zlomku dala A,B,C,..

jen nevím, zda to mám takto upravené dobře?
Děkuji.

misaH · 16. 03. 2020 13:02 — Editoval misaH (16. 03. 2020 13:03)

↑ theterka14:

1. Do akého zlomku by si dala nahoru A,B,C?

2. A ďalej by si robila čo?

theterka14 · 16. 03. 2020 13:34

↑ misaH:

No, udělala bych to takto

$\frac{A}{x^{2}+ 4}+ \frac{B}{(x+ 2)^{2}}+ \frac{C}{x-1}+ \frac{D}{x+ 1}$ , a dál bych to roznásobila, ale nejsem si jistá, zda to mohu takto zapsat.

misaH · 16. 03. 2020 13:35

↑ theterka14:

Vidí sa mi, že ešte niečo chýba...

theterka14 · 16. 03. 2020 13:40

↑ misaH: co myslíte? to $x+ 3$ ?
Nebo něco jiného?

Ferdish

↑ theterka14:
Pri rozklade na parciálne zlomky (PZ) platí, že ak mám v menovateli viacnásobný koreňový činiteľ (tj. činiteľ ako taký je umocnený na $n$ -tú), tak každej jeho mocnine (prvej až $n$ -tej) prislúcha jeden parciálny zlomok.

Taktiež v prípade, ak je v menovateli jeden z činiteľov nerozložiteľný polynóm stupňa $n=2$ , tak čitateľ PZ s príslušným polynómom v menovateli je polynóm stupňa $n=1$ .
To znamená že ak je v menovateli nerozložiteľný kvadratický činiteľ ( $n=2$ ) tak čitateľ PZ je lineárny ( $n=1$ ).

EDIT: opravené na základe poznámky od ↑ jarrro:.

theterka14 · 16. 03. 2020 14:35

↑ Ferdish:děkuji za napsani. Jestli jsem to dobře pochopila, tak bych to měla mít tedy takto: $\frac{A}{x^{}+4}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{(x+2)^{2}}+\frac{D}{x-1}+\frac{E}{x+1}$ ?

jarrro · 16. 03. 2020 14:49 — Editoval jarrro (16. 03. 2020 14:51)

↑ Ferdish:každý polynóm s reálnymi koeficientami sa dá rozložiť na súčin lineárnych alebo kvadratických polynómov s reálnymi koeficientami(niekedy však tie koeficienty sú doslova nevyjadriteľné)
↑ theterka14:
v tvojom prípade
$\frac{Ax+B}{x^{2}+4}+\frac{C}{x+2}+\frac{D}{(x+2)^{2}}+\frac{E}{x-1}+\frac{F}{x+1}$

surovec · 16. 03. 2020 14:50

↑ theterka14:
Pokud jde o koeficienty, jež máte určit, tak u toho prvního zlomku (pominouc chybu ve jmenovateli), bych ten čitatel napsal jináč...

Ferdish · 16. 03. 2020 14:54

↑ jarrro:
Ako potom napr. rozložíš $x^{2}+2x+6$ ? Nezabúdaj že sa pohybujeme v obore reálnych čísiel

jarrro · 16. 03. 2020 15:02

↑ Ferdish:nijako. Preto píšem lineárnych alebo kvadratických. Ale ty tam píšeš aj o kubických.

Ferdish

↑ jarrro:
Aha, tak pardon, čítal som "každý polynóm s reálnymi koeficientami" a automaticky som do toho zahrnul i polynómy 2. stupňa :-) Opravím to.

theterka14 · 16. 03. 2020 15:15

↑ jarrro: děkuji za napsani.

Jen nechápu, proč ten první zlomek má být $Ax+B$ ? Jak poznám, ze to ta bude, a že B nebude u dalšího zlomku?

surovec · 16. 03. 2020 15:23

↑ theterka14:
To je dle věty o parciálních zlomcích u těch zlomků, které mají v oboru reálných čísel nerozložitelný kvadratický mnohočlen.

Ferdish

↑ theterka14:
Vysvetlené tu:

Ferdish napsal(a):
↑ theterka14:
Taktiež v prípade, ak je v menovateli jeden z činiteľov nerozložiteľný polynóm stupňa $n=2$ , tak čitateľ PZ s príslušným polynómom v menovateli je polynóm stupňa $n=1$ .
To znamená že ak je v menovateli nerozložiteľný kvadratický činiteľ ( $n=2$ ) tak čitateľ PZ je lineárny ( $n=1$ ).

Polynóm stupňa $n=2$ je výraz v tvare $Ax^2+Bx+C$ kde $A,B,C\in \mathbb{R};A\neq0$ .

Poynóm stupňa $n=1$ je zasa výraz $Ax+B$ kde $A,B\in \mathbb{R};A\neq0$ .

theterka14 · 16. 03. 2020 16:12

↑ Ferdish: aha děkuji za objasnění, takže když mám takový zlomek, tak tam bude $Ax+B$ , ale kdyby byl jiný člen, například znovu $(x^{2}-1)$ , tak bych to rozlozila a měla bych $\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$

Ale kdyby byl zase člen, který nejde rozložit, například: $x+1$ , tak by to bylo $Ax+B$ ?

Ferdish

↑ theterka14:
$x+1$ je predsa lineárny člen, pre jeho PZ platí že v čitateli je len čistý koeficient (reálna konštanta). Alebo máte na mysli niečo iné?

theterka14 · 16. 03. 2020 17:40

↑ Ferdish: myslela jsem to tak, že by bylo takovéto zadání $\frac{x+ 3}{(x+ 1)(x+ 2)^{2}(x^{2}-1)}$

zbytek by byl stejný jako u předchozího příkladu, a bylo by $\frac{Ax+ B}{x+ 1}$ nebo to říkám špatně a bylo by normálně $\frac{A}{x+ 1}$ ? Děkuji..

misaH · 16. 03. 2020 18:17 — Editoval misaH (16. 03. 2020 18:20)

↑ theterka14:

To je dle věty o parciálních zlomcích u těch zlomků, které mají v oboru reálných čísel nerozložitelný kvadratický mnohočlen.

Hore je to x vtedy, ak je menovateľ nerozložiteľný kvadratický mnohočlen.

Mala by si si poriadne naštudovať teóriu, veď nič iné tam už potom nie je.

Na nete je kopa riešených úloh a aj slušne vysvetlených základov...

check_drummer · 16. 03. 2020 19:01

↑ theterka14:
Ahoj, co to znamená "bez počítání"?

theterka14 · 16. 03. 2020 19:22

↑ check_drummer: ahoj, koeficienty nepočítat. :-) pouze rozložit

theterka14 · 16. 03. 2020 19:22

↑ misaH: díky moc, už jsem se mrkla na nějaké příklady a na youtube na isibalo. :-)

misaH · 16. 03. 2020 19:26

↑ theterka14:

:-)

Matematické Fórum

#1 16. 03. 2020 12:47

Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#2 16. 03. 2020 13:02 — Editoval misaH (16. 03. 2020 13:03)

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#3 16. 03. 2020 13:34

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#4 16. 03. 2020 13:35

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#5 16. 03. 2020 13:40

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#6 16. 03. 2020 13:50 — Editoval Ferdish (16. 03. 2020 15:24)

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#7 16. 03. 2020 14:35

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#8 16. 03. 2020 14:49 — Editoval jarrro (16. 03. 2020 14:51)

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#9 16. 03. 2020 14:50

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#10 16. 03. 2020 14:54

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#11 16. 03. 2020 15:02

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#12 16. 03. 2020 15:13 — Editoval Ferdish (16. 03. 2020 15:17)

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#13 16. 03. 2020 15:15

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#14 16. 03. 2020 15:23

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#15 16. 03. 2020 15:23 — Editoval Ferdish (16. 03. 2020 15:23)

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

Ferdish napsal(a):

#16 16. 03. 2020 16:12

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#17 16. 03. 2020 16:30 — Editoval Ferdish (16. 03. 2020 16:30)

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#18 16. 03. 2020 17:40

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#19 16. 03. 2020 18:17 — Editoval misaH (16. 03. 2020 18:20)

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#20 16. 03. 2020 19:01

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#21 16. 03. 2020 19:22

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#22 16. 03. 2020 19:22

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

#23 16. 03. 2020 19:26

Re: Rozklad ryze racionální funkce na parciální zlomky bez počítání

Zápatí