Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#1 18. 03. 2020 00:07
Diferenciální rovnice
Ahoj,
potřebuji se zeptat jen na jednu věc. Když mám diferenciální rovnici x' = x/t, t=0 není v jejím definičním oboru. Řešení jsou x = Ct a já bych potřebovala vědět, jestli má počáteční úloha: x(0) =0, řešení. Jestli je povoleno ptát se na takovou počáteční podmínku, když t=0 není v definičním oboru diferenciální rovnice. Mohlo by existovat nekonečně mnoho nekonečně mnoho řešení x = Ct, protože pro ně platí zkouška a všechny splnují tuhle počáteční podmínku, ale může být otázka na ni, když t = 0 není v definičním oboru?
Děkuji za případnou pomoc.
Offline
#2 18. 03. 2020 09:46
Re: Diferenciální rovnice
↑ duska:
Takova uloha nema reseni v klasickem, ani Caratheodoryho smyslu na [0,b], protoze 1/t tam neni integrovatelna. Funkce x = Ct se sice da chapat jako reseni v distributivnim smyslu (nebo na libovolnem [a,b], a>0), pak ale pocatecni podminka v nule nebude nikdy davat smysl, protoze pro x(0)=0 dostaneme nekonecne mnoho reseni, kdezto pro x(0)<>0 zadne (pokud budeme trvat alespon na spojitosti reseni)
Offline
#3 18. 03. 2020 12:11
Re: Diferenciální rovnice
Vy myslíte trvat na spojitosti řešení v tom smyslu, že řešení počátečního problému je spojitou funkcí proměnných (t, t_0, x_0), kde (t_0, x_0) je počáteční podmínka, pokud pro malou změnu počáteční podmínky (bodu t_0, ne x_0), se řešení počátečního problému změní jenom o trochu, to znamená spojitě?
Offline
#5 18. 03. 2020 12:48
Re: Diferenciální rovnice
↑ duska:
Ta veta v tehle podobe a situaci vubec nemuze platit.. spis jsem mel na mysli ciste spojitost reseni... pokud bychom upustili od pozadavku, ze reseni je funkce spojita v case, pak samozrejme je potreba pocatecni podminku vynutit jinak (asi jako nejakou limitu, nebo pomoci testovacich funkci..ted nevim). To je ale nestandardni, normalni reseni by melo by absolutne spojite
Offline
#6 18. 03. 2020 14:54 — Editoval duska (18. 03. 2020 14:55)
Re: Diferenciální rovnice
Dobře. Potom si ale myslím, že řešení počáteční úlohy, kde počáteční podmínka je x(0) = 0, existuje a je jich nekonečně mnoho. Protože všechny funkce x = Ct jsou spojité na pro t z R, diferencovatelné, a v každém bodě vyhovují diferenciální rovnici. Myslím si, že to jsou všechny podmínky, které řešení diferenciální rovnice musí splnit. Ale pořád mi nejde do hlavy, proč tomu tak je, když diferenciální rovnice je v tomto případě funkce, v jejíž definičním oboru t nenabývá hodnotu nula. Pak nevím, čemu dát přednost, tomu, že všechny funkce x=Ct splnují podmínky pro řešení poč. podmínky x(0)=0, a proto by měly být funkce řešeními, nebo tomu, že řešní je funkce, jehož derivace není definovaná pro t=0, plyne z definičního oboru rovnice, a protože řešení má být spojitá a diferencovatelná funkce ve všech bodech, nebo má alespon mít v konečně mnoha bodech konečné levé a pravé derivace, což zde pro žádné řešení v bodě t=0 neplatí, tak žádné řešení není řešením rovnice v bodě t=0 a protože řešení má být spojitá funkce, tak i každé řešení, které splní podmínku, kde t_0 se nerovná nule, je definované pouze na intervalu (0, nekonecno), nebo (-nekonecno, 0). A resení pro pocatecní podmínku, ve které t_0 = 0, neexituje, protože žádné řešení nemá v definičním oboru bod t=0. A to pak znamená, že podmínku nemůžu položit?
Ale to se mi nezdá, protože všechny funkce x=Ct jsou řešením poč. podmínky x(0)=0. Protože vyhovují rovnici a splnují podmínky pro řešení: Jsou to spojité funkce a mají derivaci ve všech bodech, to už víme, když ve všech bodech vyhovují rovnici.
Víte, jak dál?
Offline
#9 18. 03. 2020 17:29 — Editoval Bati (18. 03. 2020 17:32)
Re: Diferenciální rovnice
↑ laszky:
Ani ne, tva rovnice jaksi degeneruje pro t->0, kde navic mas pocatecni podminku
↑ duska:
Drzel bych se faktu:
1) zadana rovnice nesplnuje klasicke ani Car. podminky pro existenci reseni
2) pokud tedy budeme mluvit o nejakych resenich, je treba vysvetlit v jakem smyslu tu rovnici splnuji.
3) zde to je ve smyslu, ze trida funkci Ct resi tu rovnici v klasickem smyslu na libovolnem (a,b), a>0
4) kazda z techto funkci lze spojite dodefinovat az do nuly
5) to, ze vysledne funkce splnuji poc. podminku je nahoda, pokud by tomu tak nebylo, potom zrejme neexistuje zadne reseni - coz je zaroven i dukaz toho, ze Car. existencni veta nejde na tuto rovnici zobecnit
Navic, podle me neexistuje nic jako definicni obor ODR. Vychozi pozice je cas 0, pocatecni podminka v nem a nejaka rovnice, coz je jen vztah mezi funkci, jeji derivaci a casem. Pak se aplikuje Peanova veta a dostane se, ze existuje nejake prave okoli 0 a funkce, ktera tam je definovana a resi rovnici. To, ze to reseni mozna existuje i globalne je dalsi informace, ktera se musi vycist z rovnice.
Offline