Matematické Fórum

↑ MichalAld:Prosím nepleťte si úhel a jeho míru. Úhel není číslo, velikost úhlu je číslo. To jaký úhel má velikost 1 je věcí dohody. Máme tak různé jednotky úhlu: otáčka (neboli plný úhel), Pravý úhel, Stupeň, grad, rad, dílec a mnohé další. Mě však nejde o polemiku nad jednotkami. Problémem je, že vyjadřování o úhlu samotném.

↑ MichalAld:
Vztah mezi úhlem a jeho velikostí je stejný, jako vztah mezi úsečkou a velikostí úsečky (viz též Teorie míry).

Slovo velikost zde představuje hodnotu uhlové míry M (resp lineární míry N) jíž poměřujeme úhly (resp. úsečky).

Napětí a velikost napětí je opravdu to samé. Podobně jako délka a velikost délky.
Nebo jako hmotnost a velikost hmotnosti.

Oboje je jen vyjádření míry, která je aplikována na nějaký objekt (napětí se vztahuje k nositele náboje, délka se též k něčemu vztahuje, např k úsečce, hmotnost se vztahuje k nějaké hmotě.). Použítí slova Velikost současně s názvem míry však považuji za pleonasmus (nadbytečné vyjádření).

V matematice nemáme žádnou realitu jenom čiré abstrakce (jako třeba množiny bodů zvané třeba úhel čí úsečka),  ale i ty popisujeme příslušnými mírami, jak dáno výše. Nejen to, často to i formálně zapisujeme.

Úhel vymezený rameny VX a VY, tedy úhel XVY, má velikost t, píšeme:
t=M(XVY), nebo jen t=|XVY|

Úsečka vymezená body A a B, tedy úsečka , má velikost d, píšeme:
d=N(), nebo jen d=||

Ještě markantnější je to při vyjadřování vlastnosti těles na technických výkresech. Míru zvanou vzdálenost uvádíme jako kóty, k čemu se tyto vztahují vyznačujeme kótovacími čarami. Tak třeba Prúměr otvoru a otvor samotný je opravdu něco jiného.

Má to ale háček. Úhel ani úsečka není tedy totožná se svou velikostí, ač se to někdy (pro zjednodušení mluvy) nerozlišuje! To je však přípustné jen tehdy, pokud smysl je jasný z kontextu.

Příklad:
Součet úhlů v trojúhelníku je 180° znamená správně: Součet velikostí vnitřních úhlů ve vrcholech trojúhelníka je 180°, což je ovšem nechutně zdlouhavé rčení.

Podobně v trojúhelníku. O písmenech a,b,c připsaným ke stranám někdy zase mluvíme jako o stranách a,b,c  - ač nejde o strany (množiny bodů) ale o čísla splňující nějaký vztah (trojúhelníkovou nerovnost, ...)

RESUME
Máme tu  sice související ale přesto různé matematické objekty, definované různě, ale bohužel vždy nazvané stejně, totiž slovem Úhel. To platí i pro příslušné jednotkové objekty (mající míru rovnou 1).  Máme tedy jednotkový úhel (úhel 1°), vyjadřující míru na množině bodů, jednotku pro popis polohy ramen úhlu dosažené transformací rotace, i jednotku pro popis otáčení jakožto procesu.

Omluvit se to dá opět jen jako snaha o zkrácení vyjadřování, ale na úrovni definic by se rozdílné objekty měly rozlišovat i názvem.

Takový je můj názor předložený do diskuse v naději, že někdo třeba předloží vhodnější východisko z nastalého zmatení pojmů.

Poznamka.
Skutocne pojem uhla je delikatna vec a preto treba byt opatrny co sa tyka tohto pojmu. 
Co da tyka matematickej definicii skutocne v tom nie je ziadny problem.  ( a pochopitelne je nutne byt presny v tom v akom  ramci sa pracuje)
Napriklad je dobre si pozriet aspon na wikipedii napr, annglicku ci francuzku verziu. ( tu je fr verzia: https://fr.wikipedia.org/wiki/Angle)

Co robia fyzici to neviem, ale v serioznych pracach musia pouzit spravne pojem uhla. 

Tak napr. pre studium pojmu uhla v rovine treba vediet, ze presnejsie ide o euklidovsku rovinu ( co to znamena?) ....

Inac, sa mi zda, ze na strednych skolach ( aspon intuitivne) sa  pouziva homomorfizm grup z ( pripominam, ze je jednotkovej kruznica )  ktory ma jadro , co da prirodzene isomofizmus poslednej grupy na .....atd ( to intuitivne na SS je, ze tocia napr, spagat  okolo valceka....)

Ahoj ↑ Pavel_J:,

Mas pravdu, ze kazda ucebnica ma svoju definiciu.  AK chces byt uccinny tak treba robit analyzy pojmov kazdej z nich.  Taka vseobecna kriticka analyza nemoze byt presna.  ( to treba urobit pre kazdu ucebnicu!).

A tiez mozes zacat popisovat pojem uhlu v presnych situaciach.  To by mohla byt prva etata na tuto temu.

Napr.  Ked niekto povie ze miera uhlu a uhol je to iste( ako si mohol poznamenat, som ukazal, ze v pridade rovininich uhlov, v ramci ktory som upresnil) to je nezmysel.  No iste by to potrebovalo upresnit celu teoriu.  ( alebo sa odvolat aspon na seriozne knihy geometrie ako aj algebry ) Az potom  zacat rozmyslat co by si urobil pre stredoskolakov. 

Mozes nam upresnit, o co ti presne ide. 
Chces o tom robit tvoju diplomovu pracu?
No, v kazdom pripade, treba zacat z tym, co sa robi na univerzitach.  A to vhodne pouzit nad tym co ( a ako) by malo byt v sredoskolskych osnovach.

Ahoj,

To si iste popisal stav v ceskych ucebnicach.
Presnejsie informacie iste najdes v osnovach pre stredne skoly.  ( iste nieco take existuje).   
Tiez moze byt problematicke, ze niektore pouzivane knihy nezodpovedaju dnesnym osnovam.


Tu https://fr.wikipedia.org/wiki/Angle  najdes jasne vysvetleny pojem uhla v roznych situaciach. 
( no na strednej skole o tom vsetkom nemozes hovorit...)

Mozno popisat podrobne kazdu z troch situacii, o ktorych pises, moze byt poucne. 

Poznamka.  Uz len povedat ze dva uhly su rovnake, je podla toho co si popisal tazka vec.   
Inac, podobne problemy si mozno videl na strednej skole z pojmom vektor.   ( a to si ako riesil?). 

Ako som ti uz naznacil, jedna mozna dobra cesta je urobit teoriu v vhodnych strukturach a potom posudit co by sa malo ucit na SS.

↑ misaH:,
Zda sa mi, ze kolegovy nestacilo co videl na SS. 
Tak sa nad tym moze zamysliet, co by sa dalo na tej urovni zlepsit.   

Vediet napr. ze ten isty orientovany uhol dvojice vetorov ma mieru v °  30° a tiez 390° atd.  je dobre vediet ( i ked ziak nevie (oficialne) ze  pracuje v faktorovej grupe). 
( vase terajsie osnovy som necital).  Ale  v ziadnom pripade netreba detom KLAMAT a tak im znechutit matematiku.   

No ale kolega, aspon sa mi zda, ze jeho ucitelia mu nevedeli dat skutocne odpovede...  tak i ked ti co nestuduju geometriu na VS by mali o tom porozmyslat.     

A preco ti nestaci ze tu aspon jeden clovek, co sa o nieco skutocne zaujima. Mne sa take zda chvalyhodne a poucne pre inych.   

Dobru noc  a opatrnost pre vsetkych.

↑ misaH:,
To neber osobne, to je myslene vseobecne.

↑ vanok:
Dík za názor. Ze všeho mi vyplývá, že
* pojem úhel různé významy a tudíž i různé definice;
* tyto významy jsou disjunktní. Podle toho jakou úlohu řeším, takového významu se musím podržet.

Ad
Uz len povedat ze dva uhly su rovnake, je podla toho co si popisal tazka vec.   
Inac, podobne problemy si mozno videl na strednej skole z pojmom vektor.   ( a to si ako riesil?).

a) mám-li dva úhly, každý v jiném významu, pak nebudou totožné nikdy, i když mohou mít shodnou velikost míry. Je otázkou, zda by mělo smyslu v takové situaci mluvit o tom, žer jsou shodné.

b) Co se týče vektorů, pak na SŠ jsem se setkal s přístupem, že (zjednodušeně řečeno) "vektor je orientovaná úsečka, umístěná kdekoli." Já bych to spíš formuloval obráceně, že "orientovaná úsečka je vektor". Tzn jsou i jiné objekty, které jsou též vektor. Jejich společnou vlastností je to, že je dovedeme sečíst a násobit skalárem. Z toho pak plyne vše, co potřebujeme k počítání s vektory na SŠ. --- na rozdíl od úhlu tady nevidím zásadní překážky bránící pochopení.

Pavel

↑ vanok:
Ad vektory:

Zde se přikláním k jasnému oddělení pojmu "souřadnice bodu" a "souřadnice vektoru"
a) Identifikace bodu pomocí jeho souřadnic je založena na průniku množin vzniklých rozkladem množiny bodů podle hodnoty jednotlivých souřadnic - tvořících síť souřadnic. Tak dostanem různé souřadnice: křivočaré (polární, hyperbolické, ... lze ukázat jejich užitečnost a to, že se běžně používají v navigaci), přímkové (ruzné druhy podle směru a hustoty sítě).
b) Identifikace vektoru pomocí jeho souřadnic je založena na vyjádření lineární kombinace vektorů báze.
Jde tedy o dva naprosto odlišné přístupy

Nezávisle na typu souřadnic máme afinní prostory, kde je definován součet:
bod + vektor = bod.  Souřadnice nějakého bodu B[b1, b2] a vektoru V(v1,v2) nemusí mí spolu mít nic společného, ale ve zvláštním případě, kdy V je polohovým vektorem bodu B, mohou být souřadnice vektoru V souřadnicemi bodu B, a to souřadnicemi afinními. A v tuplem zvláštním případě, kdy vektorová báze je ortogonální, budou souřadnicemi kartézskými.

To jistě víš bez zaváhání (resp. znáš třeba ještě lepší vyjádření téhož), ale já zde mám hlavně na mysli, že při použití rozvinutých názvů jako "kartrézské souřadnice" je vhodné vysvětlit co znamená slovo "souřadnice" a co znamená "kartézské", popřípadě též co znamená "polohový vektor" ... a to vše lze vysvětlit v souvislostech a bez složitého matematického aparátu.

Definice vektoru, kterou uvádíš v závěru, se mi líbí, popisuje přece to, čemu se říká volný vektor. Např. Na území U fouká severní vítr 15 m/s. Sečtením tohoto vektoru s bodem, kde stojím, dostanu bod, kde bude moje čepice za 1s.

Ad zlomky:
Přiznávám, že neovládám faktorové struktury. Tady trochu házíš perly svini.
Nicméně považuji za důležité rozlišovat pojem zlomku a racionálního čísla.
Zlomky 1/2 a 2/4 jsou různé (představují různé výrazy), ale představují totéž racionální číslo (reprezentované polohou na číselné ose).

Žáci, kteří nezjednoduší zlomek 4/6 nejspíš proto, že nejsou trénovaní v tom, aby jej v mysli hned rozložili na výraz (2.2)/(2.3).
Asi se něco zanedbalo ve výkladu a v motivaci k učení matematiky.
Krom toho existují mozkové dysfunkce, které lidem brání mít/používat běžné matematické představy (znám takové žáky).

Já vám do toho nechci mluvit, ale podle mě zacházení do přílišných podrobností ohledně základů matematiky není úplně ta správná cesta.

Většina lidí (včetně mě) si vystačí s intuitivním chápáním matematiky, a nepotřebuje zacházet do detailů její axiomatické výstavby.

Když zapomenu na vrozenou skromnost, tak určitě patřím (co se matematiky týče) do té horní třetiny národa, přesto jsem nikdy neslyšel třeba o Robinsonově či Peanově aritmetice, ani o Zermelově–Fraenkelově teorii množin či axiomu výběru, a nijak mi to speciálně život nezkomplikovalo...přitom to vypadá, že bych vlastně neměl umět ani do pěti počítat...