Matematické Fórum

2M70 · 23. 03. 2020 23:07

Zdravím, mohl bych poprosit o pomoc s řešením následujícího příkladu?

Má se ověřit holomorfnost funkce f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

Je zadána funkce u, $u(x,y)=x^{2}-y^{2}+5x+y-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$

Můj postup:Cauchy-Riemannovy podmínky
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$
$-\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial x}$

Spočtu
$\frac{\partial u}{\partial x}=2x+5+\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$
$\frac{\partial u}{\partial y}=-2y+1+\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

Podle C-R podmínky
$\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=2x+5+\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

Odtud integrací podle y
$v=2xy+5y+\int_{}^{}\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}dy=$
$=2xy+5y-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+f(x)$

Zderivuji podle x:
$\frac{\partial v}{\partial x}=2y-\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+f'(x)$

Porovnám s $-\frac{\partial u}{\partial y}$ :
$-\frac{\partial u}{\partial y}=-(-2y+1+\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}})=$

$=2y-1-\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=2y-\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-1$

Porovnáním:
$f'(x)=-1,f(x)=-x+C$

a tedy
$v=2xy+5y-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-x+C$

Což však určitě ještě není výsledek. Minimálně chybí dostatečné zdůvodnění holomorfnosti.

Navíc je výsledek uveden ve zcela jiném tvaru
$f(z)=z^{2}+(5-i)-\frac{i}{z}+iC$
čemuž už vůbec nerozumím.

A ještě navíc - nevychází mi harmoničnost funkce:

Spočtu si 2.derivace:

$\frac{\partial u}{\partial x}=2x+5+\frac{2xy}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$
2.derivace:
$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=2+\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}-\frac{8x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{3}}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-2y+1+\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$
2.derivace:
$\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=-2+\frac{2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}+\frac{4x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{3}}-\frac{4y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}$

Tedy není splněna Laplaceova rovnice
$\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^{2}}=0$
a funkce není harmonická.

Přesto je však příklad veden jako řešitelný, s tím celkovým výsledkem
$f(z)=z^{2}+(5-i)-\frac{i}{z}+iC$

Jsou tu tedy hlavní problémy:
- Jak zdůvodnit řešitelnost, když funkce není harmonická?
- Jak se od zadané funkce "u" a vypočtené funkce "v" dostat k tomu "komplexnímu" výsledku?

Uvítám jakékoli, sebemenší, nápady a připomínky. Předem díky za pomoc.

laszky · 24. 03. 2020 01:16

↑ 2M70:

Ahoj, nema tam byt

$f(z)=z^{2}+(5-i){\color{red} \boldsymbol{z}}-\frac{i}{z}+iC$ ?

2M70 · 24. 03. 2020 11:54

↑ laszky:

Ano, má. Ale to mi přijde z celého příkladu jako nejméně významné. Spíš bych potřeboval pomoci s těmi ostatními věcmi.

laszky · 24. 03. 2020 23:01 — Editoval laszky (24. 03. 2020 23:23)

↑ 2M70:

Hledáš $f(z)$ takovou, aby $\mathrm{Re}(f(z))=u(x,y)$ , kde $z=x+iy$ .

Vyuzij toho, ze

$\mathrm{Re}(z)=x$
$\mathrm{Re}(iz)=-y$
$\mathrm{Re}\left(\frac{1}{z}\right)=\mathrm{Re}\left(\frac{\overline{z}}{|z|^2}\right)=\frac{x}{x^2+y^2}$
$\mathrm{Re}\left(\frac{i}{z}\right)=\mathrm{Re}\left(\frac{i\overline{z}}{|z|^2}\right)=\frac{y}{x^2+y^2}$
$\mathrm{Re}(z^2)=x^2-y^2$
$\mathrm{Re}(iz^2)=-2xy$

2M70 · 24. 03. 2020 23:34

↑ laszky:

Dobře, ale tím získám řešení již z původní funkce u, tedy

$u(x,y)=x^{2}-y^{2}+5+y-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$

Porovnáním s Tvými rovnicemi to opravdu dává

$f(z)=z^{2}+5z-iz-\frac{i}{z}$

byť tedy bez té konstanty iC.

Je přípustné uvést tu výslednou funkci i v "nekomplexním" tvaru, tedy

$f(x,y)= u(x,y)+iv(x,y)=$
$=x^{2}-y^{2}+5x+y-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}-i(2xy+5y-\frac{x}{x^{2}+y^{2}}-x+C)$
?

Jinak ta funkce je opravdu harmonická, platí

$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=2+2y\cdot \frac{y^{2}-3x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3}}$

a to samé 2.derivace podle "y", ale oba členy s mínusem, sečteno to tedy dává nulu, Laplaceova rovnice je splněna a funkce je harmonická.

Matematické Fórum

#1 23. 03. 2020 23:07

Cauchy-Riemannovy podmínky holomorfnosti a harmoničnost funkcí

#2 24. 03. 2020 01:16

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky holomorfnosti a harmoničnost funkcí

#3 24. 03. 2020 11:54

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky holomorfnosti a harmoničnost funkcí

#4 24. 03. 2020 23:01 — Editoval laszky (24. 03. 2020 23:23)

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky holomorfnosti a harmoničnost funkcí

#5 24. 03. 2020 23:34

Re: Cauchy-Riemannovy podmínky holomorfnosti a harmoničnost funkcí

Zápatí