Matematické Fórum

dejvikker · 25. 03. 2020 16:49

Dobrý den, nevím si rady s tímto příkladem: V pětičlenné aritmetické posloupnosti je součin druhého a čtvrtého členu roven osmi pětinám součinu krajních členů. Součet druhých mocnin všech členů je 220. Určete tuto posloupnost.

Vím, že se utvoří dvě rovnice: $a_{2}$ $\cdot$ $a_{4}$ $=$ $\frac{8}{5}$ $\cdot$ $a_{1}$ $\cdot$ $a_{5}$ a $a^{2}_{1}$ + $a^{2}_{2}$ + $a^{2}_{3}$ + $a^{2}_{4}$ + $a^{2}_{5}$ = 220, ale už nevím jak dál.

Stýv · 25. 03. 2020 16:53

Využij ještě toho, že je to aritmetická posloupnost.

dejvikker · 25. 03. 2020 17:02

↑ Stýv: což znamená?

david_svec · 25. 03. 2020 17:20

↑ dejvikker:

Zapiš si všechny členy pomocí jednoho určitého, napřiklad pomocí $a_{3}$ .

misaH · 25. 03. 2020 17:21 — Editoval misaH (25. 03. 2020 17:23)

↑ dejvikker:

Rozdiel ľubovoľných dvoch susedných členov je pre jednu a tú istú postupnosť vždy rovnaký, napr:

1,3,5,7,...

Tu je rozdiel 2, ale môže byť akýkoľvek, značí sa vo všeobecnosti $d$ .

Stačí pohľadať na nete...

dejvikker · 25. 03. 2020 17:29

↑ misaH: no jasně, ale diference tady určená není, tak se k ní musím nějak dopočítat

Stýv · 25. 03. 2020 17:32

dejvikker napsal(a):
↑ Stýv: což znamená?

Že místo $a_2$ můžeš psát $a_1+d$ , místo $a_3$ psát $a_1+2d$ atd. Takže ti stačí dvě neznámé, pro které máš dvě rovnice.

dejvikker

↑ david_svec: $(a_{3}-d)\cdot (a_{3}+d) = \frac{8}{5}\cdot (a_{3}-2d\cdot a_{3}+2d)$ a $(a_{3}-2d)^2+(a_{3}-d)^2+a_{3}^2+(a_{3}+d)^2+(a_{3}+2d)^2$

david_svec · 25. 03. 2020 17:38

↑ dejvikker:

Stačí roznásobit nebo podle vzorců, upravit co se dá a vyřešit soustavu.

dejvikker · 25. 03. 2020 17:49

↑ david_svec: když to roznásobím tak mi vyjde $a_{3}d$ a podobně, s tím si poradím jak?

david_svec · 25. 03. 2020 18:10

↑ dejvikker:

$(a_{3}-d)\cdot (a_{3}+d) = \frac{8}{5}\cdot (a_{3}-2d)\cdot (a_{3}+2d) \nl a_{3}^{2}-d^{2}=\frac{8}{5}\cdot (a_{3}^{2}-4d^{2})$

Použil jsem vzorec $(a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}$ .

dejvikker · 25. 03. 2020 18:18

↑ david_svec: super, a na tu druhou je také vzore?

david_svec

↑ dejvikker:

Ve druhé rovnici lze na každou závorku použít známý vzorec $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$ a pak jednotlivé členy posčítat.

dejvikker

↑ david_svec: potom tam ale právě vznikne to $2a_{3}d$ a podobně, tak co s tím?

david_svec · 25. 03. 2020 18:32

↑ dejvikker:

Všechny tyhle "divné" členy se navzájem odečtou.

Matematické Fórum

#1 25. 03. 2020 16:49

Aritmetická posloupnost

#2 25. 03. 2020 16:53

Re: Aritmetická posloupnost

#3 25. 03. 2020 17:02

Re: Aritmetická posloupnost

#4 25. 03. 2020 17:20

Re: Aritmetická posloupnost

#5 25. 03. 2020 17:21 — Editoval misaH (25. 03. 2020 17:23)

Re: Aritmetická posloupnost

#6 25. 03. 2020 17:29

Re: Aritmetická posloupnost

#7 25. 03. 2020 17:32

Re: Aritmetická posloupnost

dejvikker napsal(a):

#8 25. 03. 2020 17:35 — Editoval dejvikker (25. 03. 2020 17:35)

Re: Aritmetická posloupnost

#9 25. 03. 2020 17:38

Re: Aritmetická posloupnost

#10 25. 03. 2020 17:49

Re: Aritmetická posloupnost

#11 25. 03. 2020 18:10

Re: Aritmetická posloupnost

#12 25. 03. 2020 18:18

Re: Aritmetická posloupnost

#13 25. 03. 2020 18:23 — Editoval david_svec (25. 03. 2020 18:27)

Re: Aritmetická posloupnost

#14 25. 03. 2020 18:30 — Editoval dejvikker (25. 03. 2020 18:32)

Re: Aritmetická posloupnost

#15 25. 03. 2020 18:32

Re: Aritmetická posloupnost

Zápatí