Matematické Fórum

KateNeumann · 29. 03. 2020 20:52

Dobrý den. Možna někdo ví, jak lze spočítat tenhle příklad?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-03/07411_ABF0DD01-516E-4FCD-AB95-E4A0A9F85C68.jpeg

Platí tam vzorec pro výpočet objemu rozující křivky daně parametricky
Dosadíla jsem místo x a y rcos a rsin, tak vyšlo mi r=3a^4/cos
r=6a^2/sin

Ale nevím, jaký je další postup. Děkuji

surovec

↑ KateNeumann:
Tu křivku můžeš vyjádřit explicitně:
$y=\frac{x^4+3a^4}{6a^2x}$
A pak už jen dosadíš do vzorce:
$\pi \int^{2a}_a \left( \frac{x^4+3a^4}{6a^2x} \right)^2\, \mathrm{d}x$
Obdobně pak povrch pláště.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Honzc · 30. 03. 2020 10:13

↑ KateNeumann:
Jen ještě doplním ↑ surovec:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

KateNeumann · 30. 03. 2020 16:24

↑ surovec:

Děkuji mockrát!

KateNeumann · 30. 03. 2020 17:28

↑ surovec:

Můžu se zeptat, jestli je tam třeba ještě vyjádřit x , abych mohla dosadit do vzorce?

Honzc · 30. 03. 2020 18:30

↑ KateNeumann:
Jaký vzorec máš na mysli?
Jinak pro povrch pláště tělesa vzniklého rotaci křivky y=f(x) kolem osy x platí pro náš případ vzorec
$S_{pl}=2\pi \int_{a}^{2a}y\sqrt{1+y^{'2}}dx$
a tam žádná potřeba vyjádřit x není.

KateNeumann · 30. 03. 2020 18:34

↑ surovec:

Jak jste dostal V=57pi*a^3/56? tam je přece přirozený logaritmus a tak asi by měl zůstat ve výsledku

KateNeumann · 30. 03. 2020 18:39

↑ Honzc:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-03/86276_4DC44EE8-D9AB-42B9-9890-E14E27BC3918.jpeg
Tenhle pro výpočet objemu křivky rotující okolo osy x

KateNeumann · 30. 03. 2020 18:43

↑ Honzc:

Pro povrch

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-03/86577_F3872BC6-DE83-403D-9D33-3CF22D3E3230.jpeg

Honzc · 31. 03. 2020 08:23 — Editoval Honzc (31. 03. 2020 09:05)

↑ KateNeumann:
Proč ty si to pořád komlikuješ nějakými vzorci pro křivku zadanou parametricky. Ty máš křivku zadanou explicitně, tak použij vzorce pro takto zadanou křivku. Ty jsou (pro těleso vzniklé rotací křiky kolem osy x)
Objem $V=\pi \int_{a}^{b}y^{2}dx$
Povrch pláště $S=2\pi \int_{a}^{b}y\sqrt{1+(y')^{2}}dx$
A ještě k tomu $V=\frac{57}{56}\pi a^{3}$
Křivku si přepiš na:(ať se ti lépe počítá)
$y=\frac{1}{2}(\frac{x^3}{3a^{2}}+\frac{a^{2}}{x})$
a pak $y^{2}=\frac{1}{4}(\frac{x^{6}}{9a^{4}}+\frac{2x^{2}}{3}+\frac{a^{4}}{x^{2}})$
A kyž z toho budeš počítat integrál, tak tam žádný přirozený logaritmus nebude.
Pozn.: Asi by to chtělo podívat se trochu na teorii (a hlavně ji pochopit, proč to tak je)