Matematické Fórum

thorne · 30. 03. 2020 14:41 — Editoval thorne (30. 03. 2020 14:56)

Ahoj, byl bych rád, kdyby jste mi pomohli s určením většího (menšího) čísla z:

$(1)\log_{1/7}(\cos (46^\circ )), (2)\log_{1/6}(\sin (46^\circ ))$

Mělo by to jít zřejmě bez kalkulačky

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Díky za Váš čas

Ferdish · 30. 03. 2020 14:56

Jedna z vlastností logaritmov so základom $a\in (0;1)$ je, že na celom intervale $x\in (0;1)$ platí $a_1<a_2\Leftrightarrow \log_{a_1}x<\log_{a_2}x$ .

Alebo sa tieto vlastnosti logaritmov na SŠ už neučia...?

thorne · 30. 03. 2020 15:04

↑ Ferdish:
Ahoj, to v tom příspěvku mám(a1=1/7, a2=1/6), nemýlím-li se, ale vzhledem k tomu, že je jiný i "vnitřek" obou logaritmů, tak nevím, jak to využít..

thorne · 30. 03. 2020 15:39 — Editoval thorne (30. 03. 2020 15:58)

No, ta vlastnost je viditelná z grafu pro stejne hodnoty x (v argumentu), ale
$\cos (46^\circ )$ se nerovna $\sin (46^\circ )$

Bud mi neco unika nebo se nevyznam v mat.zapisu :)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Ferdish

1. Hodnoty $\sin (46^\circ )$ a $\cos (46^\circ )$ síce nie sú rovnaké, ale sú veľmi blízke, len sínus je len o niečo málo väčší keďže $\sin (45^\circ )=\cos (45^\circ )$ a sínus na okolí bodu $x=45^\circ$ rastie a kosínus zasa klesá.

2. Už spomínaná vlastnosť $\forall x,\in (0;1)\wedge \forall [a_1,a_2\in (0;1);a_1<a_2]: \log_{a_1}x<\log_{a_2}x$

3. Logaritmus so základom $a\in (0;1)$ je klesajúca funkcia, teda $\forall [x_1,x_2\in D(f);x_1<x_2]:f(x_1)>f(x_2)$

Kombináciou týchto troch vlastností by to malo ísť spraviť...no možno mi ešte niečo podstatné uniká.

Ferdish · 31. 03. 2020 16:52

Predpokladom v Hide rozumiem. Avšak netuším akým postupom si skonštruoval tú prvú nerovnosť.

thorne · 31. 03. 2020 16:58

↑ Ferdish:
$\log_{r}t=\frac{\log_{s}t}{\log_{s}r}$
$\log_{1/6}(cos(46))=\frac{\log_{1/7}(cos(46))}{\log_{1/7}1/6}$

thorne · 31. 03. 2020 18:04 — Editoval thorne (31. 03. 2020 18:41)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

$\log_{1/7}(cos(46))=\frac{\log_{1/6}(cos(46))}{\log_{1/6}1/7}$ a $\log_{1/6}(sin(46))=\frac{\log_{1/7}(sin(46))}{\log_{1/7}1/6}$

Jelikož platí:

1. $\log_{1/6}(cos46)>\log_{1/7}(sin46)$

2. $\frac{1}{\log_{1/6}(1/7)}<\frac{1}{\log_{1/7}(1/6)}$

musí platit

$\frac{\log_{1/6}(cos(46))}{\log_{1/6}1/7}>\frac{\log_{1/7}(sin(46))}{\log_{1/7}1/6}$

a tedy i

$\log_{1/7}(cos(46))>\log_{1/6}(sin(46))$

To už by šlo ne?

Ferdish · 31. 03. 2020 19:54

↑ thorne:
Tvoja úvaha neplatí všeobecne. Napríklad $12>10$ (1.) a tiež $\frac{1}{7}<\frac{1}{4}$ (2.) ale $\frac{12}{7}\not >\frac{10}{4}$

Ferdish · 31. 03. 2020 21:01

Ešte ma napadla jedna vec...keďže $\sin (45^\circ )=\cos (45^\circ )=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , čo vieme i bez kalkulačky, a $46°=45°+1°$ , možno by šli vhodne použiť goniometrické vzorce pre sínus a kosínus súčtu.

thorne · 31. 03. 2020 21:04 — Editoval thorne (31. 03. 2020 21:17)

↑ Ferdish:
Jsem zkoušel, ale nic sem nevykoumal, zítra to už snad vyřeším. Díky za pomoc

ježek · 01. 04. 2020 00:03

↑ thorne:
Taktéž jsem zkoušel vzorce pro součet, ale nikam to nevedlo. Po 4 stranách A4 bez výsledku. :) Podle mě tam je nějaký jiný fígl, ale zatím nevím, jaký. :)

Matematické Fórum

#1 30. 03. 2020 14:41 — Editoval thorne (30. 03. 2020 14:56)

Které číslo je větší

#2 30. 03. 2020 14:56

Re: Které číslo je větší

#3 30. 03. 2020 15:04

Re: Které číslo je větší

#4 30. 03. 2020 15:06 — Editoval Ferdish (30. 03. 2020 15:06) Příspěvek uživatele Ferdish byl skryt uživatelem Ferdish. Důvod: nedomyslená blbosť

#5 30. 03. 2020 15:39 — Editoval thorne (30. 03. 2020 15:58)

Re: Které číslo je větší

#6 30. 03. 2020 16:41 — Editoval Ferdish (30. 03. 2020 16:42) Příspěvek uživatele Ferdish byl skryt uživatelem Ferdish. Důvod: blbost

#7 30. 03. 2020 17:14 — Editoval Ferdish (30. 03. 2020 17:21)

Re: Které číslo je větší

#8 31. 03. 2020 16:42 — Editoval thorne (31. 03. 2020 18:05) Příspěvek uživatele thorne byl skryt uživatelem thorne. Důvod: zbytecne

#9 31. 03. 2020 16:52

Re: Které číslo je větší

#10 31. 03. 2020 16:58

Re: Které číslo je větší

#11 31. 03. 2020 18:04 — Editoval thorne (31. 03. 2020 18:41)

Re: Které číslo je větší

#12 31. 03. 2020 19:54

Re: Které číslo je větší

#13 31. 03. 2020 21:01

Re: Které číslo je větší

#14 31. 03. 2020 21:04 — Editoval thorne (31. 03. 2020 21:17)

Re: Které číslo je větší

#15 01. 04. 2020 00:03

Re: Které číslo je větší

Zápatí