Matematické Fórum

sqrt(211) · 01. 04. 2020 14:47

Zdravím,
mám jeden sféricko-trigonometrický dotaz a předem se omlouvám za neohrabanou formulaci. Upozorňuji, že (v tomto případě) všechna písmena znamenají body, nikoli strany.

Uvažujme dvě hlavní kružnice protínající se pod úhlem alfa v bodech a a b, které tvoří dvojúhelník ab. Dále uvažujme třetí kružnici, která dvojúhelník protíná v bodech c a d, přičemž úhel acd je pravý.
Jaká bude délka oblouku cd? (konkrétně: jaká bude deklinace bodu ekliptiky (cd) v závislosti na jeho vzdálenosti od jarního bodu (ac)?)
Intuice mi říká, že $cd=\alpha \cdot sin(ac)$

Nenapadá někoho, jak to dokázat?
Díky.

sqrt(211) · 01. 04. 2020 17:18

Tak některé vzorce už jsem nakonec alespoň do jisté míry přepral. Z jednoho z kotangentových vzorců mi nakonec vyšlo:
$cd=arccotg\bigg(\dfrac{cotg(\alpha)}{sin(ac)}\bigg)$
Teď ale nejsem schopen dokázat, že se to rovná původnímu intuitivnímu vzorci.
Zkoušel jsem to porovnat na několika konkrétních úhlech a výsledky se lišily v řádu desetin - tedy dost na to, aby se to rovnat nemuselo, ale zároveň dost na to, aby to mohla být chyba numerické metody kalkulačky...

sqrt(211) · 01. 04. 2020 17:40

Tak moje předchozí úvaha asi fungovat nemůže, poněvadž pro alfa=90° musí platit cd=ac...

surovec

↑ sqrt(211):
To je nějaký divný. Jestliže a, b, c, d jsou body, co je pak jejich součin cd a ac?
Nemělo to být spíš |C,D| a |A,C|? A co by pak mělo být sin(ac), když ac rozhodně není úhel???
Tím protínáním nemyslíš dvojúhelník, ale jeho hranici, ne?

sqrt(211) · 01. 04. 2020 19:17

↑ surovec:
Je to přesně tak, jak píšete. Omlouvám se za lajdácký zápis.

surovec · 02. 04. 2020 02:11

↑ sqrt(211):
Tak pokud jsi to myslel jako závislost délky modrého oblouku (označme třeba $l=|CD|$ ) na délce červeného (označme třeba $m=|AC|$ při daném úhlu $\alpha$ (viz obrázek), je třeba poznamenat, že to závisí i na poloměru koule. A délka se pak rovná:
$l(m)=r\arccos\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha \cdot \sin^2 \frac{m}{r}}}$ ,
což se dá upravit i jako
$l(m)=r \cdot \arctan \left( \tan \alpha\cdot \sin \frac{m}{r} \right)$
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-04/85627_koule.jpg

sqrt(211) · 02. 04. 2020 07:52

Děkuji mnoho, ano, tak jsem to myslel.
A když chci délku toho oblouku ve stupních? Poloměr 1 a výsledek vynásobit 180° a vydělit pí? Nerad bych se zmýlil i v tomto.

P.S.: To jste si dal práci vytvořit obrázek v nějakém programu, nebo jste ho "jen" musel hledat? Každopádně díky.

surovec

↑ sqrt(211):
Tak ve stupních je to ještě jednodušší. Přes ně jsem to dělal a teprve dodatečně převedl na délky. Obrázek jsem dělal v Geogebře.
Jestliže červený oblouk je dán středovým úhlem $\beta$ , tak středový úhel modrého oblouku $\gamma$ je
$\gamma (\beta )=\arctan (\tan \alpha \cdot \sin \beta )$ .

sqrt(211) · 02. 04. 2020 09:28

Tímto je to vyřešené, ještě jednou děkuji.

Nemohl byste mi, prosím, poslat ten geogebrovský soubor (pokud ho ještě máte)? Např. nahrát na send,firefox.com (zdarma a bez registrace) a odkaz poslat do soukromé zprávy.
Díky

sqrt(211) · 02. 04. 2020 09:46

Že ještě obtěžuju, jak by potom vypadala tatáž závislost, kdyby byl čerený oblouk AD místo AC?

Obecně se totiž pokouším sestrojit funkci závislosti polohy Slunce (v azimutálních souřadnicích) na tom, kolik je hodin. Potom bych to rád ještě rozšířil o pohyb Slunce po ekliptice, který se bude chovat podobně.
Zkrátka, právě jsem zjistil, že jsem se ptal na špatný parametr, protože při lineárním průběhu oblouku AD (rovnoměrný pohyb Slunce) není lineární jeho azimut. Takže bych správně potřeboval závislost AD na alfa. A nelinearitu azimutu by pak popisovala závislost AC na AD...

surovec · 02. 04. 2020 10:06

↑ sqrt(211):
Nemám teď zrovna čas to odvodit, tak ti napíšu obecný postup: ty kružnice leží v nějakých rovinách (s nějakými rovnicemi). A ty úhly jsou sevřeny jejich průsečnicemi (stačí jejich směrové vektory). A pak už jen vyjádříš analyticky úhel mezi těmi vektory.
Když tak to večer pošlu i s tou Geogebrou, teď mám fakt fofr.

surovec · 02. 04. 2020 18:59

↑ sqrt(211):
Pokud bych označil středový úhel oblouku AD jako $\varphi$ , pak stačí v tom původním vzorci $\beta$ nahradit výrazem $\arctan (\tan \varphi \cdot \cos \alpha )$ .
Ten geogebráckej soubor je tady.

sqrt(211) · 02. 04. 2020 20:33

Ještě jednou díky, už je to ode mě snad všechno.

Matematické Fórum

#1 01. 04. 2020 14:47

Sférická trigonometrie

#2 01. 04. 2020 17:18

Re: Sférická trigonometrie

#3 01. 04. 2020 17:40

Re: Sférická trigonometrie

#4 01. 04. 2020 19:13 — Editoval surovec (01. 04. 2020 19:19)

Re: Sférická trigonometrie

#5 01. 04. 2020 19:17

Re: Sférická trigonometrie

#6 02. 04. 2020 02:11

Re: Sférická trigonometrie

#7 02. 04. 2020 07:52

Re: Sférická trigonometrie

#8 02. 04. 2020 09:21 — Editoval surovec (02. 04. 2020 09:25)

Re: Sférická trigonometrie

#9 02. 04. 2020 09:28

Re: Sférická trigonometrie

#10 02. 04. 2020 09:46

Re: Sférická trigonometrie

#11 02. 04. 2020 10:06

Re: Sférická trigonometrie

#12 02. 04. 2020 18:59

Re: Sférická trigonometrie

#13 02. 04. 2020 20:33

Re: Sférická trigonometrie

Zápatí