Matematické Fórum

Pozitron · 01. 04. 2020 15:39

Dobrý den,
Na internetu jsem našel příklad na vytvořující funkce a nevím jak dále postupovat.
$a_{0}=a_{1}=1, 5a_{n+2}=4a_{n+1}-a_{n}$
přepíšeme jako $\frac{5}{x^{2}}\sum_{0}^{\infty }a_{n+2}x^{n+2}=\frac{4}{x}\sum_{0}^{\infty }a_{n+1}x^{n+1}-\sum_{0}^{\infty }a_{n}x^{n}$
vyjádříme f(x) $\frac{5}{x^{2}}f(x)-\frac{5+5x}{x^{2}}=\frac{4}{x}f(x)-\frac{4}{x}-f(x)$
$f(x)=\frac{5+x}{x^{2}-4x+5}$
teď bychom to normálně rozložili na parciální zlomky a dopočítali vyjádření pro n-tý člen, problém je že jmenovatel má pouze dva imaginární kořeny a já nevím jak dál postupovat, tak prosím o návod jak se řeší příklady tohodle typu.

Výsledek:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Předem děkuji za odpověď.

check_drummer · 01. 04. 2020 16:07

Ahoj, no a jak bys postupoval, kdyby ty kořeny nebyly imaginární? Zkus postupovat stejně.

Pozitron · 01. 04. 2020 16:52

↑ check_drummer:
našel bych kořeny jmenovatele
$f(x)=\frac{5+x}{(x-2-i)(x-2+i)}=\frac{A}{(x-2-i)}+\frac{B}{(x-2+i)}$
$f(x)=\frac{\frac{1-7i}{2}}{(x-2+i)}+\frac{\frac{1+7i}{2}}{(x-2-i)}$
dále nevím jak postupovat.

jarrro · 01. 04. 2020 18:09

Nemá to byť
$a_{0}=a_{1}=1.5\nl a_{n+2}=4a_{n+1}-a_{n}$ ?
Potom
$\frac{1}{x^{2}}\sum_{0}^{\infty }a_{n+2}x^{n+2}=\frac{4}{x}\sum_{0}^{\infty }a_{n+1}x^{n+1}-\sum_{0}^{\infty }a_{n}x^{n}\nl \frac{1}{x^2}$f{\(x$}-1.5x-1.5x^2\)=\frac{4}{x}$f{\(x$}-1.5x\)-f{$x$}\nl f{$x$}-1.5x-1.5x^2=4xf{$x$}-6x^2-x^2f{$x$}\nl f{$x$}=-\frac{3}{2}\frac{3x-1}{x^2-4x+1}$
Čo sa týka komplexných čísel tak je to jedno lebo ak je komplexna postupnosť riešením diferenčnej rovnice tak aj jej reálna a imaginárna časť sú jej riešením.
teda ak $$r\(\cos{\(\varphi$}\pm\mathrm{i}\sin{$\varphi$}\)\)^n$ je komplexným riešením tak $C_1r^n\cos{$n\varphi$}+C_2r^n\sin{$n\varphi$}$ je reálne riešenie

Pozitron · 01. 04. 2020 20:06

↑ jarrro:
má to být $a_{0}=a_{1}=1$
$5a_{n+2}=4a_{n+1}-a_{n}$

Jde o to že potřebuji najít analytické vyjádření pro n-tý člen posloupnosti.

jarrro · 02. 04. 2020 21:55

jarrro napsal(a):
Čo sa týka komplexných čísel tak je to jedno lebo ak je komplexna postupnosť riešením diferenčnej rovnice tak aj jej reálna a imaginárna časť sú jej riešením.
teda ak $$r\(\cos{\(\varphi$}\pm\mathrm{i}\sin{$\varphi$}\)\)^n$ je komplexným riešením tak $C_1r^n\cos{$n\varphi$}+C_2r^n\sin{$n\varphi$}$ je reálne riešenie

Pozitron · 02. 04. 2020 23:00

↑ jarrro: A jak mi to pomůže s vytvořením vzorce pro n-tý člen?

vanok · 03. 04. 2020 01:20 — Editoval vanok (03. 04. 2020 04:58)

Ahoj ↑ Pozitron:,
Mala poznamka.
Tu mas jednoduche, uzitocne citanie https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_di … e_equation

Zda sa, ze nemas skusenosti z vektorovymi priestormi.... a v takychto problemov je uzitocne o nich vediet aspon tie zakladne veci.

Tiez je uzitocne poznamenat analogiu z linearnimi homogennimi diferencialnimi rovnicami z konstatnimi koeficinentami . Pozri napr tu
https://cs.wikipedia.org/wiki/Charakteristická_rovnice

check_drummer · 03. 04. 2020 19:06

↑ Pozitron:
$\frac{1}{1-x}$ lze vyjádřit jako součet geometrické řady.

jarrro · 03. 04. 2020 19:32

↑ Pozitron:tak, že ti to to priamo vyrieši. Veď si napísal komplexnú verziu výsledku prevod na reálnu je (ak nie som debil) taký ako som napísal.

Matematické Fórum

#1 01. 04. 2020 15:39

vytvořující funkce, těžší příklad

#2 01. 04. 2020 16:07

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

#3 01. 04. 2020 16:52

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

#4 01. 04. 2020 18:09

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

#5 01. 04. 2020 20:06

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

#6 02. 04. 2020 21:55

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

jarrro napsal(a):

#7 02. 04. 2020 23:00

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

#8 03. 04. 2020 01:20 — Editoval vanok (03. 04. 2020 04:58)

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

#9 03. 04. 2020 19:06

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

#10 03. 04. 2020 19:32

Re: vytvořující funkce, těžší příklad

Zápatí