Matematické Fórum

Monika1985 · 11. 04. 2020 10:45

Ahoj,
potrebovala by som pomoc pri riešení:
Bod sa pohybuje po kružnici tak, že jeho dráha závisí na čase podľa vzťahu s = A - Bt + Ct^2, kde B = 2 ms-1, C = 1 ms-2. Aké je normálové a celkové zrýchlenie v čase t1 = 3 s od začiatku pohybu, ak je známe, že v čase t2 = 2 s je normálové zrýchlenie an = 0,5 ms-2. Určte uhol, ktorý zviera normálové zrýchlenie s celkovým zrýchlením v čase t1 = 3 s.

v(t2)=-B+2Ct=-2+2*1*2=2
r=v(t2)^2/an=2*2/0,5=8m
v(t1)=-2+2*1*3=4
an(t1)=v(t1)^2/r=16/8=2 - tu by ale mal byť výsledok 1,2 - neviem, kde robím chybu

celkové zrýchlenie:

$a=\sqrt{an^{2}+at^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2,83$ tento výsledok je ale správny

uhol
$\text{tg}\beta =an_{t1}/a_{t1}=2/2,83=0,707\ldots \beta =35^\circ$ - výsledok by mal byť 59°

Jj · 11. 04. 2020 11:31

↑ Monika1985:

Hezký den.

Nevím, zda něco nepřehlížím, ale vidím jen to, že v závěru je chyba v použití goniometrické funkce (při an = at je β = 45°), což bohužel Váš problém neřeší.

Monika1985 · 11. 04. 2020 11:40

↑ Jj:

ale keby som použila ten výsledok 1,2 $\text{tg}\beta =an_{t1}/a_{t1}=2/1,2=1,67\ldots \beta =59^\circ$

pravdepodobne niekde chyba bude :) :) ale tiež ju nevidím

Ferdish · 11. 04. 2020 12:11

↑ Monika1985:
Čo sa týka normálového zrýchlenia v čase t1 = 3 s, výsledok uvedený v zadaní (1.2 m/s^2) je naozaj chybný, pretože po prepočítaní mi to vychádza rovnako ako tebe.

Čo sa týka toho uhla si odporúčam nakresliť celú situáciu a zakresliť vektorovo všetky zrýchlenia - normálové, tangenciálne (obvodové) i celkové, vyznačiť príslušný uhol medzi vektormi normálového a celkového zrýchlenia a na základe toho zvoliť vhodnú goniometrickú funkciu na jeho výpočet.

Monika1985 · 11. 04. 2020 18:43

↑ Ferdish:
Tak toto fakt neviem ako nakresliť :(

zdenek1 · 11. 04. 2020 18:59

↑ Monika1985:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-04/24332_pic.png

Monika1985

↑ zdenek1:

$\text{cos}\beta =an_{t1}/a_{t1}=2/2,83=0,707\ldots \beta =45^\circ$ - no ale malo by to byť 59°

Ferdish · 11. 04. 2020 19:31

↑ Monika1985:
Ten príklad je z učebnice, alebo vám ho profesor sám "vymýšľal"?

Monika1985 · 11. 04. 2020 19:37

↑ Ferdish:

je to úloha 2.54 zo stránky fakulty:

Odkaz

Ferdish

No, musím povedať, že ktokoľvek mal tento príklad na starosti, tak v uvedených výsledkoch u tohto konkrétneho príkladu má pekný bordel...

V čase t_1 = 3 s a podľa údajov v zadaní vyjde rýchlosť v zhode s výsledkom na konci, teda v_1 = 4 m/s. To isté platí i pre tangenciálne zrýchlenie a_t1 = 2 m/s^2.

Normálové zrýchlenie by podľa výsledkov na konci malo vyjsť a_n1 = 1.2 m/s^2.
Po výpočte kde s pomocou zrýchlenia v čase t_2 = 2 s zistíme polomer krivosti r = 8 m dostávame pre normálové zrýchlenie hodnotu a_n1 = 2 m/s^2. TO JE PRVÁ NEJASNOSŤ.

Celkové zrýchlenie v čase t_1 nám pri uvažovaní nami vypočítaných hodnôt tangenciálneho a normálového zrýchlenia vyjde podľa výsledkov a_1 = 2.83 m/s^2.
Keby sme však skombinovali obe hodnoty uvedené vo výsledkoch, dôjdeme k hodnote a_1 = 2.33 m/s^2. TO JE DRUHÁ NEJASNOSŤ.

To najlepšie nakoniec - uhol medzi normálovým a celkovým zrýchlením. Z obrázka od kolegu ↑ zdenek1: je zrejmé, že vhodné bude využiť kosínus hľadaného uhla.
Otázka ktorá sa natíska - akú kombináciu hodnôt oboch zrýchlení dosadiť? U každej veličiny máme po jednej vypočítanje a jednej výsledkovej hodnote.
Ktorú kombináciu po nás dotyčný autor úlohy chce? Poďme na to postupne:

a_n1 = 2 m/s^2, a_1 = 2.83 m/s^2 nám dá $\cos \beta \doteq 0,707\Rightarrow \beta \doteq 45°$ .
a_n1 = 2 m/s^2, a_1 = 2.33 m/s^2 nám dá $\cos \beta \doteq 0,858\Rightarrow \beta \doteq 31°$ .
a_n1 = 1.2 m/s^2, a_1 = 2.83 m/s^2 nám dá $\cos \beta \doteq 0,424\Rightarrow \beta \doteq 65°$
a_n1 = 1.2 m/s^2, a_1 = 2.33 m/s^2 nám dá $\cos \beta \doteq 0,515\Rightarrow \beta \doteq 59°$

Takže vidíme, že ku autorovej želanej hodnote 59° sa dostaneme len vtedy, ak budeme uvažovať CHYBNÚ hodnotu normálového zrýchlenia (ktorá však figuruje vo výsledkoch čoby správna), a CHYBNÚ hodnotu celkového zrýchlenia (pretože bola vypočítaná na základe chybnej hodnoty normálového zrýchlenia).
Správnou variantou v tomto prípade by malo byť uvažovanie tých hodnôt, ktoré si sami vypočítame, čím dospejeme k veľkosti uhla 45° medzi normálovým a celkovým zrýchlením.

Takže milá slečna ↑ Monika1985:, môžete byť pokojná - nie je vašou vinou, že vám vychádzajú iné hodnoty než sú uvedené na konci príkladu ;-)

Matematické Fórum

#1 11. 04. 2020 10:45

Pohyb po kružnici

#2 11. 04. 2020 11:31

Re: Pohyb po kružnici

#3 11. 04. 2020 11:40

Re: Pohyb po kružnici

#4 11. 04. 2020 12:11

Re: Pohyb po kružnici

#5 11. 04. 2020 18:43

Re: Pohyb po kružnici

#6 11. 04. 2020 18:59

Re: Pohyb po kružnici

#7 11. 04. 2020 19:14 — Editoval Monika1985 (11. 04. 2020 19:14)

Re: Pohyb po kružnici

#8 11. 04. 2020 19:31

Re: Pohyb po kružnici

#9 11. 04. 2020 19:37

Re: Pohyb po kružnici

#10 11. 04. 2020 22:06 — Editoval Ferdish (12. 04. 2020 10:23)

Re: Pohyb po kružnici

Zápatí