Matematické Fórum

leniczcha · 06. 06. 2009 12:24

Poslední příklad nad kterým si lámu hlavu:

Napište rovnice tečen k elipse, které jsou kolmé k přímce x = 7 + 12t, y = 2 - 13t. Elipsa je dána rovnicí

x^2 / 169 + y^2/25 = 1

gadgetka · 06. 06. 2009 14:06

Nápověda:
převedla bych si parametrickou rovnici přímky na obecnou do tvaru $y=k_1x+q$ , tečny mají být kolmé, takže platí $k_1\cdot k_2=-1$ , tečny budou mít rovnici $y=k_2\cdot x+q$ . Dosazením za y do rovnice elipsy a při podmínce D=0 vyjde kořen $q_{1,2}$ a jeho dosazením do směrnicového tvaru rovnice přímky kolmé na zadanou, dostáváme rovnice hledaných tečen.

leniczcha · 07. 06. 2009 21:09

Bohužel se nějak nemůžu dopočítat:

k1 mi vychází -13/12
k2 = 12/13

obecná rovnice přímky vychází:
13x + 12y - 115 = 0

což po vyjádření y a dosazení do rovnice elipsy vede na kvadratickou rovnici s velkými hodnotami

Neporadil by někdo nějaký návrh vedoucí k řešení?

gadgetka · 07. 06. 2009 21:40

ale v závěru z těch vysokých hodnot vyjde krásná rovnice $169-q^2=0$ , která je velmi dobře řešitelná :)

halogan · 07. 06. 2009 21:41

A může být řešena velice, ale velice špatně, takže si to rozmysli.

leniczcha · 07. 06. 2009 21:51

↑ gadgetka:

Tak jsem se bohužel k tomuto závěru neprokousala.

gadgetka · 07. 06. 2009 22:29

$\frac{x^2}{169}+\frac{\frac{144}{169}x^2+\frac{24}{13}xq+q^2}{25}=1\nl\frac{x^2}{169}+\frac{\frac{144x^2+312xq+169q^2}{169}}{25}=1\nl\frac{x^2}{169}+\frac{144x^2+312xq+169q^2}{169\cdot 25}=1\qquad /\cdot 169\cdot 25\nl25x^2+144x^2+312xq+169q^2-169\cdot 25=0\nl169x^2+312xq+169q^2-169\cdot 25=0\qquad /:13\nl13x^2+24xq+13q^2-13\cdot 25=0\nlD=0\Rightarrow 576q^2-52(13q^2-325)=0\nl576q^2-676q^2+16900=0\nl-100q^2+16900=0\qquad /:100\nl169-q^2=0\nl(13-q)(13+q)=0\nlq_1=13\nlq_2=-13$

leniczcha · 08. 06. 2009 06:23

Moc děkuji, už vidím, kde jsem dělala chybu.

Matematické Fórum

#1 06. 06. 2009 12:24

Rovnice tečen

#2 06. 06. 2009 14:06

Re: Rovnice tečen

#3 07. 06. 2009 21:09

Re: Rovnice tečen

#4 07. 06. 2009 21:40

Re: Rovnice tečen

#5 07. 06. 2009 21:41

Re: Rovnice tečen

#6 07. 06. 2009 21:51

Re: Rovnice tečen

#7 07. 06. 2009 22:29

Re: Rovnice tečen

#8 08. 06. 2009 06:23

Re: Rovnice tečen

Zápatí