Matematické Fórum

keltik · 15. 04. 2020 19:59

Dobrý den, věděl by si někdo rady?

Kolikrát se změní perioda kmitání kyvadla přeneseného ze Země na Měsíc, jestliže
hmotnost Měsíce je 81krát menší než hmotnost Země a poloměr Země je 3,7krát větší než
poloměr Měsíce

Pokoušela jsem se to takhle vyjádřit $Tm= 2\pi ×\sqrt{Rm/Mm}$ a takhle analogicky vyjádřit i periodu země.
Chtěla jsem to nejdříve vypočítat u každé periody zvlášť a pak vydělit Tm/Tz ale v původním vzorečku
$T= 2\pi ×\sqrt{l/g}$ mi chybí l a nevím jak se k tomu dostat. Nad tímto příkladem jsem ztrávila přes dvě hodiny, jsem v tom úplně zamotaná.

Zjistila jsem, že správný výsledek má být zhruba 2, 4.
Když jsem si zoufale hrála s kalkulačkou, tento výsledek mi vyšel pomocí
$\sqrt{81/3,7^{2}}$

Měl by někdo nějaký nápad jak se k tomu dostat?

Ferdish · 15. 04. 2020 20:25

Pre teleso s hmotnosťou $m$ (v našom prípade závažie kyvadla) nachádzajúce sa na povrchu Zeme pôsobí zem gravitačnou silou o veľkosti

$F_Z=\varkappa \frac{mM_Z}{R_Z^2}=mg_Z$

kde $\varkappa$ je gravitačná konštanta $M_Z,R_Z$ je hmotnosť a polomer Zeme a $g_Z$ je gravitačné zrýchlenie na povrchu Zeme.

Pre to isté teleso na povrchu Mesiaca platí, že naň Mesiac pôsobí gravitačnou silou o veľkosti

$F_M=\varkappa \frac{mM_M}{R_M^2}=mg_M$

pričom analogicky $M_M,R_M$ sú hmotnosť a polomer Mesiaca a $g_M$ gravitačné zrýchlenie na povrchu Mesiaca.

Keďže hmotnosť i polomer Mesiaca sú v zadaní vyjadrené pomerne ku hmotnosti a polomeru Zeme, je možné po dosadení všetkých veličín pomerne vyjadriť i gravitačné zrýchlenie $g_M$ voči $g_Z$ a následne dosadiť do vzorca pre periódu matematického kyvadla.

keltik · 15. 04. 2020 20:38

↑ Ferdish:
Znamená to, že mám za Mz dosadit 81Mm a to samé i s poloměrem Země i Měsíce? Nebo je ta úvaha špatná?

keltik · 15. 04. 2020 20:54

dosazením jsem se dostala sem:
$\frac{F_{m}}{F_{z}}=\frac{\frac{\varkappa ×m×81Mm}{3,7^{2}Rm^{2}}}{\frac{\varkappa ×m×Mm}{Rm^{2}}}= \frac{81Mm×Rm^{2}}{3.7^{2}Rm^{2}×Mm}$

Ale teď už nevím. pokud vykrátím, vše co můžu, zbyde mi tam
$\frac{81}{3.7^{2}}$
a to podle výsledků není správný výsledek..

Ferdish · 15. 04. 2020 21:56

Lenže ty nehľadáš pomer gravitačných síl, ale pomer periód kyvadla.

keltik · 15. 04. 2020 22:17

↑ Ferdish: Počkat, takže cože mám udělat? Teď už jsem se v tom ztratila úplně.
No jenže kdybych porovnávala přímo ty periody, tak mi tam chybí to l, nebo ne?

marnes · 15. 04. 2020 22:19

↑ keltik:

Zkusím ti v tom udělat pořádek s využitím informací, které máš

gravitační zrychlení na Zemi je

$g_{z}=\frac{M_{z}}{R_{z}^{2}}\cdot \varkappa$

gravitační zrychlení na měsíci bude tedy

$g_{m}=\frac{M_{m}}{R_{m}^{2}}\cdot \varkappa =\frac{\frac{M_{z}}{81}}{(\frac{R_{z}}{3,7})^{2}}\cdot \varkappa =\frac{3,7^{2}}{81}g_{z}$

no a když dosadíme do periody

$T_{m}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{m}}}=\ldots =T_{z}\cdot \frac{81}{3.7^{2}}$

Ferdish

↑ marnes:
Nemal by ten zlomok za $T_{z}$ v poslednom výraze byť pod odmocninou, pán kolega? :-)

MichalAld · 15. 04. 2020 22:33

Já bych na to šel postupně.

Nejprve si zjisti, kolikrát se liší g na zemi a na měsíci. A můžeš to udělat taky ve dvou krocích ... nejprve předpokládej, že mají stejnou hmotnost a liší se ta velikost, a pak že mají stejnou velikost a liší se ta hmotnost. A pak to vynásobit.

Ale tohle už nejspíš máš...

No a potom zjistit, jak se změní T když se změní g.

Můžeš při tom využít jednoduché úvahy, že pokud je závislost mezi dvěma veličinami ve tvaru libovolné mocniny, tedy

$y = Cx^n$

tak potom

$\frac{y_1}{y_2} = (\frac{x_1}{x_2})^n$

to n nemusí být nutně přirozené číslo, může být záporné, může to být zlomek, může to být cokoliv.

Ale jak říkám, většinu už máš hotovou....jen chci upozornit na to, že ono to jde v podstatě z hlavy...když máš třeba ten gravitační zákon,

$g=\varkappa \frac{M}{r^2}$

tak třeba závislost g na r je 1/r^2, tedy n = -2, takže

$\frac{g_1}{g_2} = (\frac{r_1}{r_2})^{-2} = (\frac{r_2}{r_1})^{2}$

to samé můžeš udělat pro závislost g na m, tam bude n = 1 (přímá úměra),
a nakonec závislost T na g, tam bude n = -1/2

Takže když bych vzal tvé zadání, tak

hmotnost Měsíce je 81krát menší než hmotnost Země - tak to zmenší i g 81x

a poloměr Měsíce je 3,7 krát menší než poloměr Země - tak to zmenší g ještě 1/(3.7)^2 krát (takže zvětší 3.7^2 krát)

a když teda znám kolikrát se zmenší g, a $T= 2\pi ×\sqrt{l/g}$ tak bude T zmenšeno $\frac{1}{\sqrt{(g-kolikrat)}}$

PS: není to přímo návod, a je dobré si to kontrolovat selským rozumem ... když tedy vím, že na měsíci je menší g, tak by tam mělo kyvadlo kývat pomaleji...

Tyhle typy příkladů zjevně dělají mnoha studentům problémy ... protože se za každou cenu snaží dosazovat všechny ty konstanty co jsou ve vzorcích a vyčíslovat i věci, které nejsou potřeba ... ale ve skutečnosti to závisí jen na té mocnině ... ty konstanty kolem na to nemají vlv.

marnes · 15. 04. 2020 22:38 — Editoval marnes (15. 04. 2020 22:40)

↑ marnes:
Určitě, ten vypadl, ale je tam několikrát v tvých radách zmíněn:-)

$T_{m}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{m}}}=\ldots =T_{z}\cdot \sqrt{\frac{81}{3.7^{2}}}$

nechám tam ten chybný zápis, z chyb se taky člověk může učit:-)

keltik · 15. 04. 2020 22:56

↑ marnes: AHA! ježíš teď se mi úplně rozsvítlo, hrozně mockrát děkuju! Bez vás bych to nejspíš nepochopila

keltik · 15. 04. 2020 23:03

nenene, ale počkat, kam vypadlo to l? Vždyť to my neznáme, ne?

marnes · 15. 04. 2020 23:19

↑ keltik:
Taky už ti psali, že nemusíš znát délku kyvadla. Ty jen určuješ změnu vzhledem k periodě na Zemi
$T_{m}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{m}}}=\ldots =T_{z}\cdot \sqrt{\frac{81}{3.7^{2}}}$

$\ldots =2\pi \sqrt{\frac{l}{\frac{3,7^{2}}{81}\cdot g_{z}}}=2\pi \sqrt{\frac{81}{3,7^{2}}\cdot \frac{l}{g_{z}}}=2\pi \sqrt{\frac{81}{3,7^{2}}}\cdot\sqrt{ \frac{l}{g_{z}}}$

kde $2\pi \sqrt{ \frac{l}{g_{z}}}=T_{z}$

keltik · 15. 04. 2020 23:36

↑ marnes: jáj, já jsem fakt tele. Díky moc!

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2020 19:59

Změna periody kmitání kyvadla

#2 15. 04. 2020 20:25

Re: Změna periody kmitání kyvadla

#3 15. 04. 2020 20:38

Re: Změna periody kmitání kyvadla

#4 15. 04. 2020 20:54

Re: Změna periody kmitání kyvadla

#5 15. 04. 2020 21:56

Re: Změna periody kmitání kyvadla

#6 15. 04. 2020 22:17

Re: Změna periody kmitání kyvadla

#7 15. 04. 2020 22:19

Re: Změna periody kmitání kyvadla

#8 15. 04. 2020 22:32 — Editoval Ferdish (15. 04. 2020 22:32)

Re: Změna periody kmitání kyvadla

#9 15. 04. 2020 22:33

Re: Změna periody kmitání kyvadla

#10 15. 04. 2020 22:38 — Editoval marnes (15. 04. 2020 22:40)

Re: Změna periody kmitání kyvadla

#11 15. 04. 2020 22:56

Re: Změna periody kmitání kyvadla

#12 15. 04. 2020 23:03

Re: Změna periody kmitání kyvadla

#13 15. 04. 2020 23:19

Re: Změna periody kmitání kyvadla

#14 15. 04. 2020 23:36

Re: Změna periody kmitání kyvadla

Zápatí