Matematické Fórum

Nelca · 16. 04. 2020 15:05

Ahoj, kdyby se někdo nudil a vysvětlil mi postup daného příkladu, byla bych vděčná..
Zjistěte, kde je funkce $f (x,y) = x\wedge 2 -xy +y\wedge 2$ diferencovatelná, a pak vypočítejte její přírůstek (diferenci) $\triangle f$ a totální diferenciál df v bodě $A= (2,-1)$ , je-li přírůstkový vektor $h=(\triangle x, \triangle y) = (-0,1;-0,2)$
{{f je polynomická funkce p2(x, y) diferencovatelná všude, neboť je třídy C∞(E2)

MichalAld · 16. 04. 2020 15:30

Co znamená to $x \wedge2$ ? Nemá to být jen $x ^ 2$ ?

Pokud je tedy ta funkce

$f (x,y) = x^2 -xy +y^2$

tak diferencovatelná je všude, kde existují její derivace ... tahle podle mě tedy úplně všude.

Difeenciál je pak

$\Delta f = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y$

Je to vlastně rovnice tečné roviny v nějakém bodě. Stačí vyjádřit příslušné parciální derivace a máš to.

(případné teoretičtější věci a formální správnost může doplnit někdo další...)

Nelca · 22. 04. 2020 16:37

↑ MichalAld:
Mohl by mi prosím někdo ještě pomoct, jak vypočítám ten přírůstek? Ten diferenciál jsem pochopila, vyšlo mi to podle výsledku = 0,3 a použila jsem parciální derivaci a vektor, ale nemůžu ani za nic přijít na ten přírůstek, zkouším to přes vzorec $f\triangle = 0,3 + (\sqrt{h^{2}+k^{2}}* \tau)$ a to $\tau =$ limita (h,k) = 0..

MichalAld · 22. 04. 2020 16:54

Ale ten přírustek přece vypočítáš podle toho vzorce

$\Delta f = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y$

když si tam dosadíš ty parciální derivace vyčíslené v tom bodě A (tedy 2, -1).

Třeba ta první parciální derivace ...

$f (x,y) = x^2 -xy +y^2$

takže

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} = 2x - y$

V bodě A(2, -1) má hodnotu 2*2 - (-1) = 5.

Takže už máš polovinu hotovou ...

$\Delta f = 5 \Delta x + ...$

Teď to samé pro proměnnou y, a pak dosadit za Dx a Dy to -0.1 a -0.2

Nic víc na tom není...

laszky · 22. 04. 2020 17:02

↑ MichalAld:

Pozor, $\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}$ :-)

Nelca · 22. 04. 2020 17:10

↑ MichalAld:↑ MichalAld:
Ale já jsem přesně takhle postupovala, a vypočítala jsem tím diferenciál 0,3 a přírůstek má vyjít 0,33, tak já už nevím teda

MichalAld · 22. 04. 2020 18:36

↑ Nelca:

Tak přírustek asi znamená, že to vypočítáš přímo...tj dosadíš přímo do funkce, x = 2-0.1, y=-1-0.2, přesněji tedy musíš od toho odečíst hodnotu funkce v bodě 2, -1, abys dostala jen ten přírustek. Tedy

$f(A+h) - f(A)$

MichalAld · 22. 04. 2020 18:36

laszky napsal(a):
↑ MichalAld:

Pozor, $\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}$ :-)

Nezlob, já jsem rád, že vůbec vím o čem mluvím ... a ty mě tady ještě zkoušíš mást...

Matematické Fórum

#1 16. 04. 2020 15:05

Diferenciál, tečná rovina grafu f-ce

#2 16. 04. 2020 15:30

Re: Diferenciál, tečná rovina grafu f-ce

#3 22. 04. 2020 16:37

Re: Diferenciál, tečná rovina grafu f-ce

#4 22. 04. 2020 16:54

Re: Diferenciál, tečná rovina grafu f-ce

#5 22. 04. 2020 17:02

Re: Diferenciál, tečná rovina grafu f-ce

#6 22. 04. 2020 17:10

Re: Diferenciál, tečná rovina grafu f-ce

#7 22. 04. 2020 18:36

Re: Diferenciál, tečná rovina grafu f-ce

#8 22. 04. 2020 18:36

Re: Diferenciál, tečná rovina grafu f-ce

laszky napsal(a):

Zápatí