Matematické Fórum

Mr.Luc · 16. 04. 2020 14:48

Ahoj, dokázal by mi někdo poradit s touto úlohou, na první pohled se mi to zdálo poměrně snadné, ale nějak se mi nedaří nakreslit smysluplný obrázek podle toho, jak to autor myslel.

Hmotný bod $m$ je přitahován dvěma silovými centry vzdálenými $a$ . Síly jsou úměrné vzdálenostem od center. Na začátku je bod v klidu ve vzdálenosti $\frac{a}{2}$ kolmo od centra 1. Určete, po jaké dráze se bude hmotný bod pohybovat.

zdenek1 · 16. 04. 2020 15:06

↑ Mr.Luc:
Těžko říct, řekl bych , že takto.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-04/42313_pic.png

Ale nejlepší by bylo se zeptat autora.

MichalAld · 16. 04. 2020 15:51

A když už je obrázek, tak si pak nějak zvolíme souřadný systém...napíšeme vztah pro vektor síly v závislosti na poloze, tj

$F(\overrightarrow{r}) = F(x,y) = ...$

pak dosadíme do Newtonova zákona ...

$\frac{d^2 \overrightarrow{r}}{dt^2}= \frac {1}{m}F(\overrightarrow{r})$

Je to soustava dvou diferenciálních rovnic druhého řádu, pro souřadnice x, y. Pokud budeme mít štěstí, podaří se nám ji vyřešit analyticky, to ale s největší pravděpodobnost nenastane, takže nejspíš budeme muset nasadit hrubou sílu - tedy numerické řešení (jako je třeba metoda RK čtvrtého řádu).

Aspoň mě teda nic moc jiného nenapadá...

Mr.Luc · 16. 04. 2020 16:30

↑ MichalAld: Takhle jsem si to nakreslil také, ale podle výsledku je řešením přímka $y=\frac{a}{2}-x$ pro $x\in<0,a>$ , což mi přijde divný, protože nechápu, proč by se ten bod měl po dosažení bodu $[\frac{a}{2},0]$ pohybovat dál šikmo dolů, když je přesně mezi centry (možná jen chyba ve výsledku?). Zkoušel jsem to tak, že jsem si řekl, že

$F_1=\sqrt{(x^2+y^2},$
$F_2=\sqrt{(a-x)^2+y^2},$

a pak to zkoumat zvlášť pro $x$ -sové souřadnic a $y$ -nové souřadnice.

Dává to takhle smysl? Nebo mám někde špatnou představu?

zdenek1

↑ Mr.Luc:
Šikmo dolů se bude pohybovat proto, že existuje něco, čemu se říká setrvačnost. V bodě $[\frac a2,0]$ sice bude působící síla nulová, jenže ten bod už získal nějakou rychlost a setrvačností poletí dál.

Jinak udělat si fyzikální představu by nemělo být tak složité, protože to, co je tam tak složitě formulované, jsou vlastně dvě pružiny. A to znamená, že analyticky by to řešit jít mělo.

Mr.Luc · 16. 04. 2020 17:43

↑ zdenek1:Aha, to mě nenapadlo, že vlastně rychlost v tom bodě nulová není, takže chápu to dobře, že bude kmitat po té úsečce tam a zpátky? Jsou ok takto ty rovnice:

$\frac{\partial^2 x }{\partial t^2 }=\frac{a-2x}{m}$

$\frac{\partial^2 y }{\partial t^2 }=\frac{-2y}{m}$

Z těchto rovnic pak získám řešení (vede to na tu úsečku), ale úplně si nejsem jistý, proč mám u xsové derivace na pravé straně + a u ypsilonové - (jinak by mi to nevyšlo).

zdenek1 · 16. 04. 2020 17:58

↑ Mr.Luc:
Rovnice mám stejné. A to "mínus" bude jasné z obrázku
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-04/52541_pic.png

takže pohybová rovnice
$m\ddot{\vec{r}} =-\vec r+(\vec a-\vec r)=\vec a -2\vec r$

Mr.Luc · 16. 04. 2020 18:28

↑ zdenek1:
Aha, z obrázku je to vidět dobře. Tak super. Děkuju moc.

Matematické Fórum

#1 16. 04. 2020 14:48

Trajektorie pohybu

#2 16. 04. 2020 15:06

Re: Trajektorie pohybu

#3 16. 04. 2020 15:51

Re: Trajektorie pohybu

#4 16. 04. 2020 16:30

Re: Trajektorie pohybu

#5 16. 04. 2020 17:32 — Editoval zdenek1 (16. 04. 2020 17:40)

Re: Trajektorie pohybu

#6 16. 04. 2020 17:43

Re: Trajektorie pohybu

#7 16. 04. 2020 17:58

Re: Trajektorie pohybu

#8 16. 04. 2020 18:28

Re: Trajektorie pohybu

Zápatí