Matematické Fórum

Makrofág · 15. 04. 2020 20:42

Ahoj!

Chtěl jsem podle svého definovat polopřímku. Povedlo se mi to?

Def.: Nechť je dána přímka $p$ a na ní ležící bod $A_{0}$ .
Sestrojme na $p$ druhý bod $A_{1}$ různý od $A_{0}$ .
Máme $\overline{A_0A_1}$ .
Sestrojme nyní na $p$ další bod $A_2$ tak, aby platilo:
$\overline{A_0A_1} \cap \overline{A_1A_2} = \{A_1\}$ .
Podobně sestrojme na $p$ další bod $A_3$ tak, aby platilo:
$\overline{A_1A_2} \cap \overline{A_2A_3} = \{A_2\}$ .
Obecně podle tohoto návodu musí pro všechny naše úsečky platit:
$\overline{A_{i-1}A_{i}} \cap \overline{A_{i}A_{i+1}} = \{A_{i}\}$ .

Pak polopřímka s krajním bodem $A_0$ je:
$\bigcup_{i=1}^{n} \overline{A_{i-1}A_{i}}$ pro $n \rightarrow \infty$ .

vlado_bb · 15. 04. 2020 20:46

↑ Makrofág:Teraz by este bolo treba dokazat, ze definicia nezavisi na volbe bodov $A_i, i \ge 1$ .

Stýv · 15. 04. 2020 21:32

Co dostaneš, když bude $|A_iA_{i+1}|=\frac1{2^i}$ ?

check_drummer · 16. 04. 2020 11:44

Ahoj, jak máš definovánu přímku a úsečku?

Makrofág · 16. 04. 2020 19:11

↑ check_drummer:

Úsečku a přímku mám definovanou podle definice křivky, tak nejdřív ta křivka:

Definuji množinu rozšířených reálných čísel:
$\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty , \infty \}$
(aritmetiku a uspořádání pro tuto množinu definuji jako ve Wikipedii)
Nechť $\exists \alpha, \beta \in \overline{\mathbb{R}}: I = \langle \alpha ; \beta \rangle$ ,
dále nechť existují spojité funkce $f: \overline{\mathbb{R}} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ a $g: \overline{\mathbb{R}} \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$ .
Pak rovinná křivka (dále už jen křivka) je rovinný útvar definovaný jako $\bigcup_{x\in I}^{} \{[f(x); g(x)]\}$ .

No tak jo. Máme křivku definovanou v rovině. Aspoň si myslím, že ji tímto mám definovanou dobře.

Při zachování tohoto systému značení definuji úsečku tak, že $\alpha$ a $\beta$ vyberu jen z $\mathbb{R}$ .
$f(x) := k_1x+q_1$ , kde $k_1, q_1 \in \mathbb{R}$
$g(x) := k_2x+q_2$ , kde $k_2, q_2 \in \mathbb{R}$
Současně musí platit: $k_1 \ne 0 \vee k_2 \ne 0$
Proč to musí platit? Při nesplnění této podmínky bychom místo úsečky dostali bod o souřadnicích $[q_1, q_2]$ .
Na konci nám při tom sjednocení bodů vznikne úsečka.

A co přímka?

Pro přímku definuji funkce $f, g$ stejně jako u úsečky a $\alpha = -\infty , \beta = \infty$

check_drummer · 16. 04. 2020 19:26

↑ Makrofág:
No a co kdybys pomocí této své definice definoval i polopřímku?

Makrofág · 16. 04. 2020 19:29

↑ Stýv:

Díky!
Nedostanu polopřímku, ale úsečku o délce $\sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{2^i}$ , a to je $2$ .
Není to v rozporu s definicí, a přesto polopřímku nedostanu.
Takže bych měl do definice doplnit, že $\exists l \in \mathbb{R}^+ : \forall i \in \mathbb{N}: |\overline{A_{i-1}A_i}| = l$

To bylo hodně dobrý, tohleto...

Makrofág · 16. 04. 2020 19:30

↑ check_drummer:

Když jsem to tak psal, taky mě to napadlo. Jó, rozhodl jsem se pro tenhle systém, ať je to konzistentní. Díky.

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2020 20:42

Definice polopřímky

#2 15. 04. 2020 20:46

Re: Definice polopřímky

#3 15. 04. 2020 21:32

Re: Definice polopřímky

#4 16. 04. 2020 11:44

Re: Definice polopřímky

#5 16. 04. 2020 19:11

Re: Definice polopřímky

#6 16. 04. 2020 19:26

Re: Definice polopřímky

#7 16. 04. 2020 19:29

Re: Definice polopřímky

#8 16. 04. 2020 19:30

Re: Definice polopřímky

Zápatí