Matematické Fórum

1jirka22

Ahoj,

mohli byste mi prosím vyjasnit, proč když vyjde vlastní číslo komplexně sdružené při řešení soustavy diferenciálních rovnic, tak při určování vlastní vektorů používám pouze jedno z čísel komplexně sdružených?
Například když je soustava x´= 4x+5y a y´= -4x-4y vyjde vlastní číslo $2i$ a $-2i$ , tak jakto, že do řešení se používá jen jedno z nich?

Děkuju :)

jarrro · 17. 04. 2020 14:38 — Editoval jarrro (17. 04. 2020 14:39)

Lebo ak sú $\mathrm{e}^{$a+b\mathrm{i}$x}=\mathrm{e}^{ax}$\cos{\(bx$}+\mathrm{i}\sin{$bx$}\)$ a $\mathrm{e}^{$a-b\mathrm{i}$x}=\mathrm{e}^{ax}$\cos{\(-bx$}+\mathrm{i}\sin{$-bx$}\)=\mathrm{e}^{ax}$\cos{\(bx$}-\mathrm{i}\sin{$bx$}\)$ komplexné riešenia homogénnej lineárnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientami tak aj ich lineárna kombinácia $$\frac{C}{2}-\frac{D}{2}\mathrm{i}$\mathrm{e}^{ax}$\cos{\(x$}+\mathrm{i}\sin{$x$}\)+$\frac{C}{2}+\frac{D}{2}\mathrm{i}$\mathrm{e}^{ax}$\cos{\(bx$}-\mathrm{i}\sin{$bx$}\)=\mathrm{e}^{ax}$C\cos{\(bx$}+D\sin{$bx$}\)=\nl =C\mathrm{e}^{ax}\cos{$bx$}+D\mathrm{e}^{ax}\sin{$bx$}$ je riešením navyše ak C, D sú reálne tak daná kombinácia je reálna a funkcie $\mathrm{e}^{ax}\cos{$bx$}$ a $\mathrm{e}^{ax}\sin{$bx$}$ sú pre nenulové b v reálnom funkcionálnom priestore nezávislé. Kombinácia však závisí na $a$ a $b$ ktoré určíš aj z jedného nereálneho koreňa ak vieš že aj jeho združenec je koreňom (čo vieš kvôli reálnosti koeficientov dif. rovnice

1jirka22

↑ jarrro:
Děkuju moc za reakci.
Mohl byste mi prosím říct, proč to násobíte komplexně sdruženým číslem? A jak se stane z komplexní funkce funkce reálná?

Děkuji

jarrro · 18. 04. 2020 10:02

↑ 1jirka22:komplexne združeným som násobil aby som dostal reálnu kombináciu reálnych fcií. Inak by stále vychádzali komplexné funkcie

Matematické Fórum

#1 17. 04. 2020 13:36 — Editoval 1jirka22 (17. 04. 2020 13:42)

Soustava diferenciálních rovnic - komplexně sdružené vlastní čísla

#2 17. 04. 2020 14:38 — Editoval jarrro (17. 04. 2020 14:39)

Re: Soustava diferenciálních rovnic - komplexně sdružené vlastní čísla

#3 17. 04. 2020 17:20 — Editoval 1jirka22 (17. 04. 2020 17:44)

Re: Soustava diferenciálních rovnic - komplexně sdružené vlastní čísla

#4 18. 04. 2020 10:02

Re: Soustava diferenciálních rovnic - komplexně sdružené vlastní čísla

Zápatí