Matematické Fórum

_NanoP_ · 17. 04. 2020 21:38

Dobrý den,
potřeboval bych poradit s následujícím příkladem. Příklad jsem již kdysi počítal, ale nerozumím jak jsem přišel na celkový moment setrvačnosti.
tyč, která způsobuje otočení - je tam šipka 1
tyč na spojnici 2
koncová tyč 3

1 I = 0 - Proč?
2 I = 1/3 ml^2 - chápu
3 I = ml^2 - Proč? Nyní bych použil Steinerovu větu tj 1/12ml^2 + ml^2, kde l je vzálenost od středu tyče 3 k tyči 1

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-04/51936_Sn%25C3%25ADmek%2Bobrazovky%2B%2528287%2529.png

Moc děkuji za objasnění

Ferdish

TYČ Č. 1
Moment zotrvačnosti tyče č. 1 (tyč ktorá splýva s osou otáčania) je v ideálnom prípade skutočne nulový. Treba však poznamenať, že takýto prípad je zaťažený značnou mierou zjednodušenia/idealizácie.

V reálnom svete má totiž každá tenká hmotná tyč nejaký nenulový priemer a keďže podľa definície je os otáčania bezrozmerne tenká a pre moment zotrvačnosti platí

$J=\int_{}^{}r\,\mathrm{d}m$ ,

tak tyč určite musí obsahovať hmotné elementy $\mathrm{d}m$ s nenulovou vzdialenosťou $r$ od osi otáčania, teda by mali nenulový príspevok k momentu zotrvačnosti takejto tyče.
Avšak kvôli zjednodušeniu uvažujeme tyč natoľko tenkú, že jej ľubovoľný hmotný element je natoľko málo vzdialený od osi otáčania, že jeho príspevok k momentu zotrvačnosti je zanedbateľne malý.
Svojím spôsobom je to vlastne tenký valec, a pre jeho moment zotrvačnosti voči osi otáčania totožnej s osou valca platí predpis

$J=\frac{1}{2}mR^{2}=\frac{1}{2}\pi \varrho v R^{4}$

kde $R$ je polomer valca, $v$ jeho výška a $\varrho$ hustota materiálu z ktorého je vyrobený.
Teda so znižovaním polomeru $R$ jeho moment zotrvačnosti vzhľadom na os otáčania totožnú s osou valca prudko klesá (ako štvrtá mocnina polomeru). A ak $R\ll 1$ čo je prípad tenkej tyče, tak $J\approx 0$ .

TYČ Č. 2
Tu nemám čo dodať, keďže sám hovoríš, že chápeš prečo je moment zotrvačnosti tejto tyče voči danej osi taký, aký je. A ja ti dávam za pravdu.

TYČ Č. 3
Tu sa naozaj uplatňuje Steinerova veta. Tyč č. 3 totiž predstavuje ten istý prípad ako tyč 1, avšak s osou posunutou mimo svojho ťažiska.
A keďže v prípade tyče č. 1 je moment zotrvačnosti nulový, k tomuto nulovému momentu sa pripočíta príspevok $ml^{2}$ , pretože dĺžka $l$ tyče č. 2 je vzdialenosť osi otáčania od ťažiska tyče č.3 - presne podľa definície Steinerovej vety.

MichalAld · 18. 04. 2020 13:30

Ferdish napsal(a):
Moment zotrvačnosti tyče č. 1 (tyč ktorá splýva s osou otáčania) je v ideálnom prípade skutočne nulový. Treba však poznamenať, že takýto prípad je zaťažený značnou mierou zjednodušenia/idealizácie.

Na druhou stranu - všechny fyzikální zákony jsou jen zjednodušení ... i sám Newtonův zákon je jen zjednodušení...představa tuhých a homogenních těles taky...nakonec i představa metrové tyče, která je dokonale rovná je dost velké zjednodušení (brusiči budou vědět, o čem mluvím, hihi).

Celá fyzika je vlastně o hledání vhodných zjednodušení. Kdybychom měli ocelovou tyčku modelovat pomocí těch 10^40 atomů a jejich vzájemných interakcí, moc daleko bychom se asi nedostali...

Celé je to o tom umět odhadnout, co si můžeme dovolit zjednodušit a co už né...

Tyč kruhového průřezu rotující kolem své osy má moment setrvačnosti

$J = \frac{1}{2}mr^2$

zatímco stejně velká tyč rotující kolem osy vzdálené od její o L má moment setrvačnosti

$J = \frac{1}{2}mr^2 + mL^2$

Obě tyče dohromady tedy budou mít

$J = mr^2 + mL^2$

Pokud bude mít tyč průměr 2cm (to už je slušná tyčka), tedy r=1cm, a vzdálenost L bude 100cm, potom bude člen obsahující L 10 000x větší než ten obsahujíc r. Takže když ten první člen zanedbáme, bude chyba v řádu 0.01% Pokud nám takováto přesnost stačí, tak se velikostí r nemusíme zabývat a můžeme ho považovat za nulový. Pokud bychom to z nějakého důvodu potřebovali přesněji, tak už musíme vzít průměr tyče do úvahy. Jenže to taky znamená stanovit stejně přesně i ostatní veličiny ...

MichalAld · 18. 04. 2020 13:34

Ferdish napsal(a):
$J=\frac{1}{2}mR^{2}=\frac{1}{2}\pi \varrho v R^{4}$

kde $R$ je polomer valca, $v$ jeho výška a $\varrho$ hustota materiálu z ktorého je vyrobený.
Teda so znižovaním polomeru $R$ jeho moment zotrvačnosti vzhľadom na os otáčania totožnú s osou valca prudko klesá (ako štvrtá mocnina polomeru). A ak $R\ll 1$ čo je prípad tenkej tyče, tak $J\approx 0$ .

Tvůj argument není ale úplně správný ... moment setrvačnosti by klesal se čtvrtou mocninou poloměru jen v případě, že bychom se zmenšováním poloměru zmenšovali i hmotnost...

Jenže to v našem myšlenkovém experimentu neděláme ... my předpokládáme, že hmotnost tyče zůstává pořád stejná, jen zmenšujeme její rozměry (až do bodu, či teda do čáry). Takže moment setrvačnosti nám odpovídá jen druhé mocnině r (protože hmotnost necháváme stále stejnou).

I tak lze vliv průměru tyče zanedbat, pokud je r << L, a nedopustíme se tím větší chyby než v řádu $(\frac{r}{L})^2$

Matematické Fórum

#1 17. 04. 2020 21:38

Moment setrvačnosti

#2 17. 04. 2020 23:14 — Editoval Ferdish (17. 04. 2020 23:15)

Re: Moment setrvačnosti

#3 18. 04. 2020 13:30

Re: Moment setrvačnosti

Ferdish napsal(a):

#4 18. 04. 2020 13:34

Re: Moment setrvačnosti

Ferdish napsal(a):

Zápatí