Matematické Fórum

theterka14

Ahoj, mohl by mě někdo prosím navést, jak dále pokračovat, nebo co dělat? S tímto tipem příkladů jsem se ještě nesetkala.

Zadání: $y' + 3y = e^{2x}$

dosadila jsem si a vypočetla integrál a vyšlo mi $3y + y = e^{2x}$ , ale teď nevím co dál. Zaskočilo mě v zadání, že máme $+ 3y$

Předem děkuji za každé rady!

vanok · 20. 04. 2020 11:28

Ahoj ↑ theterka14:,
Tu mozes vyriesit najprv homogène rovnicu.
Potom potrebujes este partikuliarne riesenie tvojej rovnice.
A nakoniec to vyuzi na vseobecne riesenie danej rovnice.

( a teoriu si pozri v tvojich poznamkach)

1jirka22 · 20. 04. 2020 11:35

Ahoj,

pozor, tady to nemůžeš integrovat, nelze to rozseparovat. Nejdřív vyřeš homogenní diferenciální rovnici. V tomto případě to znamená, že pravá strana bude rovno nule. Můžeš řešit separací, získáš řešení homogenní diferenciální rovnice. Poté provedeš metodu odhadu.

vanok · 20. 04. 2020 15:27 — Editoval vanok (20. 04. 2020 15:28)

↑ theterka14:,
Len pre kontrolu.
Homogenna rovnica ma riesenie $y_1=C e^{-3x}$
Jedno riesenie celej rovnice je $y_2=\frac {e^{2x}}5$ ,
Tak to vyuzi.

surovec · 20. 04. 2020 18:36

↑ theterka14:
Já bych to vynásobil $\mathrm{e}^{3x}$ a mám:
$y'\cdot \mathrm{e}^{3x}+3\mathrm{e}^{3x}y=\mathrm{e}^{5x}$
$\left(y\mathrm{e}^{3x}\right)'=\mathrm{e}^{5x}$
$y\mathrm{e}^{3x}=\frac{\mathrm{e}^{5x}}{5}+C$
$y=\frac{\mathrm{e}^{2x}}{5}+\frac{C}{\mathrm{e}^{3x}}$

MichalAld · 20. 04. 2020 22:37

Je to lineární rovnice s konstantními koeficienty a "speciální" pravou stranou, a postup, který jsme se učili my je následující:

Nejprve se najde obecné řešení ... tj řešení odpovídající rovnice "bez pravé strany", tedy

$y' + 3y = 0$

rovnici prvního řádu lze řešit separací proměnných, ale u rovnice vyšších řádů to už asi nejde. Nicméně nejjednodušší je si zapamatovat, že řešení těchto rovnic lze vždy nalést jako kombinaci funkcí typu

$y = C e^{\lambda x}$

takže to dosadíme, vykrátíme co lze vykrátit a dostaneme tzv. charakteristickou rovnici pro to číslo $\lambda$ .

Většinou se nic nedosazuje ani nekrátí a napíše se to rovnou, tedy

$\lambda ^1 + 3 \lambda^0 = 0$

tedy $\lambda = -3$

a obecné řešení je $y = C e^{-3x}$

A pak ještě musíme najít to řešení pro pravou stranu ... a když je pravá strana $A e^{kx}$ , tak zase víme, že řešení bude $y = B e^{kx}$ , takže to stačí dosadit, vykrátit a najít vhodnou konstantu, tedy

$2B e^{2x} + 3B e^{2x} = e^{2x}$

$2B + 3B = 1$ , $5B = 1$ , $B = \frac{1}{5}$

Když k tomu přidáme to obecné řešení, máme finální výsledek

$y = C e^{-3x} + \frac{1}{5}e^{2x}$

theterka14 · 21. 04. 2020 18:20

Jaj, já pochopila to tak, že máme dělat variaci konstant, s těmito postupy jsem se ještě nesetkala :( jinými postupy to nejde prosím? nemohu si vyjádřit y, což by bylo: $y = -3e^{x}C$

theterka14 · 21. 04. 2020 18:21

↑ MichalAld: Jak jste prosím přišel na to $2B?$ proč tam je ta dvojka?
Děkuji.

surovec

↑ theterka14:
Na tento typ rovnic je nejrychlejší ta metoda ↑ surovec:. Říká se jí, myslím, integrační faktor, a rovnici prostě vynásobíš výrazem $\mathrm{e}^{\int B \,\mathrm{d}x}$ , kde B je koeficient u y(x)... Pár řádků a hotovo dvacet.

theterka14 · 21. 04. 2020 19:31

↑ surovec: super, děkuji moc, už chápu. A jak poznám, kdy ji budu moci použít?

MichalAld · 21. 04. 2020 23:21

theterka14 napsal(a):
↑ MichalAld: Jak jste prosím přišel na to $2B?$ proč tam je ta dvojka?
Děkuji.

No, derivace e^2x je 2e^2x...

MichalAld

theterka14 napsal(a):
Jaj, já pochopila to tak, že máme dělat variaci konstant

Jo, to je ta základní metoda...stejně se musí ale nejprve vyřešit rovnice s nulovou pravou stranou, takže např.

$y^{,} + 3y = 0$

$\frac{dy}{dx} = -3y$

$\frac{dy}{y} = -3 dx$

zintegrujeme a máme

$\ln y = -3x + C$

a po úpravě (to nové C je obecně jiné než to původní C)

$y = Ce^{-3x}$

No a teď ta variace konstanty ... předpokládáme, že konstanta není konstana, ale funkce proměnné x, tedy C(x).

$y = C(x)e^{-3x}$

Dosadíme do původní rovnice (i s pravou stranou), zderivujeme a určíme C(x).

$y' = C'(x)e^{-3x} - 3C(x)e^{-3x}$

$y^{,} + 3y = e^{2x}$

$C'(x)e^{-3x} - 3C(x)e^{-3x} + 3C(x)e^{-3x} = e^{2x}$

ty dva členy se navzájem vyruší, takže

$C'(x)e^{-3x} = e^{2x}$

$C'(x) = e^{5x}$

a po zintegrování máme

$C(x) = \frac{1}{5}e^{5x} + C$

(zase, ta dvě C nejsou stejné věci)

no a dosadíme do

$y = C(x)e^{-3x}$

$y = (\frac{1}{5}e^{5x} + C) e^{-3x}$

$y = \frac{1}{5}e^{2x} + C e^{-3x}$

Tak jsme se nakonec dopracovali k řešení ... sama ale vidíš, kolik je s tím práce...

theterka14 · 22. 04. 2020 08:50

↑ MichalAld: jej, děkuji. Nevím, proč nás tedy učí tu nejtěžší metodu :( Ale ta vaše se dá nejspíš použít jen když máme $e^{x}$ , že?

Děkuji moc. S tím derovováním jsem to již pochopila

surovec · 22. 04. 2020 09:29

↑ theterka14:
Když je to LDR 1. řádu s libovolnými (v průběhu výpočtu integrovatelnými) koeficienty...

vanok · 22. 04. 2020 10:24

Ahoj ↑ theterka14:,
Poznamka: ako som to pripomenul v ↑ vanok:, tak skutocne sme v situacii ↑ surovec:. Ale iste ste videli bezne metody riesenia takychto rovnic. Ci nie?

theterka14 · 22. 04. 2020 10:33

↑ vanok: Bohužel jsme se učili variaci konstant, a to jsem moc nepochopila, a poté jednodušší příklady s logaritmem a tak. Ale postupy, které mi byli zde doporučeny jsem viděla poprvé, avšak mi přijdou srozumitelnější než z hodiny.

MichalAld · 22. 04. 2020 11:01

theterka14 napsal(a):
↑ MichalAld: jej, děkuji. Nevím, proč nás tedy učí tu nejtěžší metodu :( Ale ta vaše se dá nejspíš použít jen když máme $e^{x}$ , že?

Děkuji moc. S tím derovováním jsem to již pochopila

Ta "nejtěžší" metoda má jednu výhodu ... nepotřebuje dopředu vědět, jak řešení vypadá. Metoda co zmiňuji já v podstatě vyžaduje znalost řešení, alespoň zhruba.

Na druhou stranu ... jednou na to někdo přijít musel, že lineární dif. rovnice s konstantními koeficienty mají vždy řešení ve tvaru superpozice různých $e^{\lambda x}$ , takže není důvod toho nevyužívat. A lze tak řešit rovnice libovolného řádu, což snad ani jinak moc nejde.

Pokud jde o pravou stranu ... nemusí to být nutně tvar $e^{k x}$ , funguje to taky na tvar

$A \sin \omega x + B \cos \omega x$

případně i na

$e^{kx} (A \sin \omega x + B \cos \omega x)$

a samozřejmě to funguje i na pravou stranu která je součtem různých těchto členů (s různými koeficienty). A to už je docela dobrá hromada funkcí ... protože spoustu jiných funkcí lze pomocí Fourierovy řady či Fourierovy transformace převést na sučet těchto sinů a cosinů ... takže v principu takto dokážeme najít řešení pro skoro každou "rozumnou" funkci.

On existuje nějaký způsob, jak si poradit i s obecnou pravou stranou ... ale je to dost komplikované ... takže je často lepší si pravou stranu nahradit něčím, pro co řešení známe.

Pokud je pravá strana v tom tvaru

$A \sin \omega x + B \cos \omega x = C \sin (\omega t + \varphi)$

lze použít ještě trik, že ji nahradíme funkcí

$C e^{i \omega t + \varphi}$

a pak lze napsat řešení víceméně z hlavy ... je to natolik jednoduché, že se to třeba učí elektrikáři už na střední škole, v době, kdy ještě netuší, že nějaké diferenciální rovnice vůbec existují...

Protože po dosazení do dif rovnice se nám všechna ta $C e^{i \omega t}$ vykrátí, a každá derivace se změní na obyčejné násobení číslem $i \omega$ . Takže z dif. rovnice máme normální rovnici, akorát že v komplexních číslech.

theterka14 · 22. 04. 2020 11:43

↑ MichalAld: Děkuji moc za podrobné vysvětlení, zapíšu si to do poznámek a určitě to zkusím použít. I tu variaci konstant již chápu lépe než z hodiny a dává mi to větší smysl :-) Moc děkuji!

vanok · 22. 04. 2020 11:54

Ahoj ↑ theterka14:,
Tu https://cs.wikipedia.org/wiki/Variace_konstant mas uzitocne citanie.
Pozri to aj v inych jazykoch.

Matematické Fórum

#1 20. 04. 2020 11:19 — Editoval theterka14 (20. 04. 2020 11:21)

diferenciální rovnice - jak pokračovat

#2 20. 04. 2020 11:28

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

#3 20. 04. 2020 11:35

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

#4 20. 04. 2020 15:27 — Editoval vanok (20. 04. 2020 15:28)

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

#5 20. 04. 2020 18:36

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

#6 20. 04. 2020 22:37

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

#7 21. 04. 2020 18:20

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

#8 21. 04. 2020 18:21

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

#9 21. 04. 2020 19:17 — Editoval surovec (21. 04. 2020 19:19)

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

#10 21. 04. 2020 19:31

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

#11 21. 04. 2020 23:21

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

theterka14 napsal(a):

#12 21. 04. 2020 23:36 — Editoval MichalAld (21. 04. 2020 23:37)

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

theterka14 napsal(a):

#13 22. 04. 2020 08:50

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

#14 22. 04. 2020 09:29

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

#15 22. 04. 2020 10:24

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

#16 22. 04. 2020 10:33

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

#17 22. 04. 2020 11:01

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

theterka14 napsal(a):

#18 22. 04. 2020 11:43

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

#19 22. 04. 2020 11:54

Re: diferenciální rovnice - jak pokračovat

Zápatí