Matematické Fórum

anddry97 · 20. 04. 2020 18:26

Zdravím, trápí mě následující problém.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-04/99233_pr1.jpg

a) vzhledem k tomu, že obvod nemá žádný externí zdroj který by držel napětí konstantní, bude napětí proměnná
doposud jsem se dobral toho, že $F=\frac{1}{2}QE$ .

Chtěl jsem použít vztahů pro napětí ,kapacitu kondenzátoru a Gaussovu větu
$U=\int_{}^{}\vec{E}\vec{dr}$ , $C=Q/U$ , $\int_{}^{}\vec{E}\vec{dS}=\frac{Q}{\epsilon_0}$

Odkud mi vyšlo dosazením do síly a zohledněním homogenity pole uvnitř kondenzátoru:
$F_e(d)=\frac{\epsilon_0 S U^{2}}{2}\frac{1}{d^{2}}$

Jenže napětí se bude s rostoucí vzdáleností měnit, tedy nemohu U považovat za konstantní.. Tím jsem nakousl d)

B) C) už budou jen použítí získané funkce.

Jak byste na to šli vy?

MichalAld · 20. 04. 2020 23:02

Podle mě nejjednodušší, přímočarý a možná taky jediný správný postup je pomocí vztahu

$F = \frac{dW}{dx}$

W je v tomto případě energie kondenzátoru (může se samozřejmě označit i jinak, ale nějak abychom si ji nepletli s prací, napětím a elektrickou intenzitou).

Takže pokud se ti podaří vyjádřit závislost energie toho kondenzátoru na x, máš vyhráno - pokud teda umíš derivovat.

Energie kondenzátoru je $W = \frac{1}{2} \frac{Q}{C}$

Náboj znáš, a ten se zachovává...takže ten je pořád stejný, a mění se jen ta kapacita, jak se od sebe desky vzdalují.

Kapacita deskového kondenzátoru je obecně C = k/x, x je ta vzdálenost a k je nějaká konstanta...(permitivita krát plocha, že).

Takže energie je

$W = \frac{1}{2} \frac{Q}{C}=\frac{1}{2} \frac{Q}{k}x$

a síla by tedy měla být konstantní. Nelze ale úplně vyloučit, že jsem tam udělal něco chybně. Ale ten původní vztah, že síla ve směru nějaké souřadnice je derivace energie dle té souřadnice je správný. Platí to úplně vždycky, i v nějakých komplikovanýc polích.

Tady máme ovšem pole homogenní, tedy konstantní ... a můžeme tedy uvažovat, že síla je prostě F = E * Q. Ale je to taková ošemetná úvaha, protože ty náboje to pole samy vytvářejí, a pokud jednu desku odstraníme, pole bude vypadat úplně jinak. Můžeme si ale představit, že z té elektrody "vystřihneme" jen malý kousíček ... tím se pole asi moc nezmění, a spočítáme sílu, jaká působí na něj.

Každopádně ale ... platí to jen za předpokladu, že je pole mezi elektrodami homogenní. A ono na okrajích elektrod není ... takže to platí jen dokud bude vzdálenost elektrod mnohem menší než jejich rozměry. Což je ve tvém případě (od setiny do jednoho mm) asi splněno.

Při větší vzdálenosti už to tak ale nebude ... a nebude ani platit ten známý vztah pro kapacitu deskového kondenzátoru.

MichalAld · 20. 04. 2020 23:05

anddry97 napsal(a):
Odkud mi vyšlo dosazením do síly a zohledněním homogenity pole uvnitř kondenzátoru:
$F_e(d)=\frac{\epsilon_0 S U^{2}}{2}\frac{1}{d^{2}}$

Jenže napětí se bude s rostoucí vzdáleností měnit, tedy nemohu U považovat za konstantní..

Moc nechápu, jak ti to mohlo vyjít, konstantní enní napětí ale intenzita E. Z Gaussovy věty přece plyne, že tok odpovídá náboji ... a náboj se v tomto případě nemění, takže ani tok, takže ani E (za předpokladu, že zanedbáme ty kraje kondenzátoru).

anddry97 · 22. 04. 2020 19:46

↑ MichalAld:
díky, krásně vysvětleno

anddry97 · 25. 04. 2020 11:33

↑ MichalAld:
nebude ještě ta energie s nábojem na druhou? budu uvažovat nějakou $dW=Udq$ dosadím si z kapacity $dW=q/c \ dq$ integrací $W=\int_{0}^{Q}\frac{q}{c}dq=\frac{1}{2}\frac{Q^{2}}{C}$