Matematické Fórum

theterka14 · 22. 04. 2020 08:54

Ahoj, už jsem díky Vám pochopila postup, který je jednodušší a jde s ním počítat pomocí $\chi$ , ale nevím, zda to jde uplatnit, ikdyž budu mít takovýto příklad?

$xy' - \frac{y}{x+ 1} = x$

nebo zde musím počítat pomocí variace konstant?
Omlouvám se za tolik dotazů, ale tato kapitola je pro mě hrozně těžká a zmatená.

surovec

↑ theterka14:
Jde o LDR 1. řádu s (obecně) nekonstantními koeficienty, takže zase bych dal integrační faktor. Vydělím ikskem, abych rovnici normalizoval:
$y'-\frac{1}{x+x^2}\cdot y=1$ , takže B je ten zlomek, takže integrační faktor je
$\mathrm{e}^{\int -\frac{1}{x+x^2}\,\mathrm{d}x}=\mathrm{e}^{\int \frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x}=\ldots =\frac{x+1}{x}$
Vynásobím tím rovnici a mám
$y'\cdot \frac{x+1}{x}-\frac{1}{x^2}\cdot y=\frac{x+1}{x}$ ,
tím mi nalevo vzniká derivace součinu (to je princip celé metody). Dále
$\left( y\cdot \frac{x+1}{x} \right)'=\frac{x+1}{x}$
Zintegruju
$y\cdot \frac{x+1}{x}=x+\ln |x|+C$
$y=\frac{x^2+x\ln |x|+Cx}{x+1}$
Hotovo dvacet.

theterka14 · 22. 04. 2020 11:36

↑ surovec: vůbec zde nechápu ten druhý řádek, jak jste co udělal :(

1jirka22

↑ theterka14:
Ahoj, je to řešení pomocí integračního faktoru.
Nebo můžeš zase vyřešit homogenní rovnici tzn. rozseparovat. Poté můžeš řešit variací konstant.
Je to pořád stejný typ rovnic. Vždy musíš osamostatnit první derivaci a poté pokračuješ stejnými metodami :)

theterka14 · 22. 04. 2020 12:05

↑ 1jirka22: zkusila jsem to i tým způsobem variace konstant, jelikož jsem nevěděla, zda jde použít ta metoda od Vás.
dala jsem si na pravou stranu nulu a vyšlo mi:
$y = \frac{x}{x+ 1} C$ , pomocí parciálních zlomků a logaritmu jsem to takto upravila a teď bych dosadila do původní rovnice a zderivovala, ale nevychází mi to :/

theterka14 · 22. 04. 2020 12:10

Jak bych zde případně mohla použít metodu odhadu?

1jirka22

↑ theterka14:
Metodu odhadu můžeš použít tehdy, když máš ''speciální'' pravou stranu - nehomogenitu. To znamená polynomy, exponenciální funkce, sinus a cosinus.
Ale zde máš nekonstantní koeficienty, takže variace konstant nebo integrační faktor - viz nahoře :)

theterka14 · 22. 04. 2020 12:36

Ale zde nemohu použít ani vzoreček s $\cos$ a $\sin$ a ani vzoreček pro $e^{x}$ , tak jak zde sestrojím tu rovnici? Já bych to klidně zkusila i tou variací konstant, ale po derivaci mi vyšel člen, s kterým nevím co dál (mělo by se to vykrátit, avšak mi tam zůstalo víc, než bych chtěla.

theterka14

když jsem zkusila metodu variaci konstant:

měla jsem po derivaci $y' = C'(x) \frac{x}{x+ 1} + C(x)$ a poté bych dosadila i pravou stranu $C'(x) \frac{x}{x+ 1} + C(x) - \frac{1}{x+ x^{2}} C(x)\frac{x}{x+ x^{2}} = 1$

1jirka22 · 22. 04. 2020 12:38

↑ theterka14:
řešení homogenní rovnice máš správně :) nezapomeň, že ta konstanta $C$ může být závislá na x takže to je $C_{x}$ a musíš k tomu tak přistupovat při derivování.

theterka14 · 22. 04. 2020 12:39

↑ 1jirka22: napsala jsem o příspěvek výše, jak jsem to zderivovala a dosadila pravou stranu.

1jirka22

↑ theterka14:
$[\frac{x\cdot c_{x}}{x+1}]'=\frac{(x\cdot c_{x})'\cdot (x+1)-(x\cdot{c_{x})\cdot (x+1)'}}{(x+1)^{2}}$

theterka14 · 22. 04. 2020 12:50

↑ 1jirka22: bohužel to vidím jako chybu :(

1jirka22

↑ theterka14:
Nevím, proč mně to hází chybu. Hoď si to do náhledu v latexu :)

surovec

↑ theterka14:
Ten druhý řádek je prostě ta metoda. Když rovnici vynásobíš výrazem $\mathrm{e}^{\int B(x)\, \mathrm{d}x}$ , tak to vede na derivaci součinu. Už je to teď jasné?
(To B(x) je koeficient rovnice $y'+B(x)y=C(x)$ , takže nejdřív musíš rovnici vydělit případným koeficientem u $y'$ a tak ji "normalizovat".)
A pokud není jasný ten integrál, tak parciální zlomky, z toho pak logaritmy, odečteš logaritmy, logaritmus se vyruší s tím éčkem.

theterka14 · 22. 04. 2020 13:16

↑ 1jirka22: už jsem se na to mrkla, jsem blbá, zapomněla jsem, že derivace se dělá takto, vůbec mě to nedocvaklo. Zkusím to zapsat a upravit. Děkuji moc :-)

1jirka22 · 22. 04. 2020 13:17

↑ theterka14:
To se stane, v pohodě :)

theterka14 · 22. 04. 2020 13:17

↑ surovec: zkusím i tuto metodu, napíšu si to a snad mi to dá větší rozum. Přijde mi to trochu složitější, nebo alespon pro mě.
Děkuji!

Ferdish · 22. 04. 2020 13:29

↑ 1jirka22:
Ak ti náhľad v LaTeXovom editore vygeneruje výraz ako viditeľný/bezchybný ešte neznamená, že ho bude vidieť aj v príspevku (a naopak).

Ja ho nevidím tiež, ale prišiel som na problém - ako znak derivácie si miesto znaku apostrofu $'$ použil znak dĺžňa $\text{´}$ . Náhľadové okno edtiora s tým problém nemá, ale textové pole správy áno.

Mne sa dĺžeň zobrazil, pretože som ho vložil do vnútra prostredia \text{} - v opačnom prípade hlási pri zobrazení chybu. Ak môžeš tak si to oprav, prosím.

1jirka22

↑ Ferdish:
Děkuju za upozornění :)
Opraveno

theterka14 · 22. 04. 2020 15:10

↑ 1jirka22: takže bych měla $\frac{Cx}{(x+ 1)^{2}} = 1$ ? a poté $Cx = (x+ 1)^{2}$ ?

1jirka22 · 22. 04. 2020 15:45

↑ theterka14:
mělo by ti vyjít $c_{x}'$ , které by si měla dále integrovat a z toho ty vyjde až $c_{x}$

theterka14 · 22. 04. 2020 15:56

já měla $\frac{(1C'x)(x+ 1)-xCx}{(x+ 1)^{2}}$ a z toho mi vypadl člen nahoře a zbylo mi tam pouze $\frac{C'x}{(x+ 1)^{2}} = 1$

Matematické Fórum

#1 22. 04. 2020 08:54

diferenciální rovnice - jaký postup

#2 22. 04. 2020 09:19 — Editoval surovec (22. 04. 2020 09:49)

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#3 22. 04. 2020 11:36

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#4 22. 04. 2020 11:48 — Editoval 1jirka22 (22. 04. 2020 15:53)

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#5 22. 04. 2020 12:05

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#6 22. 04. 2020 12:10

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#7 22. 04. 2020 12:29 — Editoval 1jirka22 (22. 04. 2020 15:54)

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#8 22. 04. 2020 12:36

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#9 22. 04. 2020 12:37 — Editoval theterka14 (22. 04. 2020 12:38)

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#10 22. 04. 2020 12:38

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#11 22. 04. 2020 12:39

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#12 22. 04. 2020 12:48 — Editoval 1jirka22 (22. 04. 2020 13:44)

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#13 22. 04. 2020 12:50

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#14 22. 04. 2020 12:52 — Editoval 1jirka22 (22. 04. 2020 12:53)

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#15 22. 04. 2020 13:02 — Editoval surovec (22. 04. 2020 13:06)

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#16 22. 04. 2020 13:16

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#17 22. 04. 2020 13:17

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#18 22. 04. 2020 13:17

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#19 22. 04. 2020 13:29

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#20 22. 04. 2020 13:43 — Editoval 1jirka22 (22. 04. 2020 13:44)

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#21 22. 04. 2020 15:10

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#22 22. 04. 2020 15:45

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

#23 22. 04. 2020 15:56

Re: diferenciální rovnice - jaký postup

Zápatí