Matematické Fórum

Byjka · 23. 04. 2020 12:39

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-04/38323_analyza%2BO6.png

Môžem Vás poprosiť o pomoc pri riešený tejto úlohy.
6 príklad. ďakujem

laszky · 23. 04. 2020 14:10

↑ Byjka:

Ahoj, pouzij Cauchy-Schwarzovu nerovnost.

Byjka · 23. 04. 2020 14:38

↑ laszky:

hm...mozem poprosiť este trosku viac napovede ?

Pomeranc · 23. 04. 2020 15:03

↑ Byjka:

Nejde prostě ty integrály vyřešit, a pak to počítat jako funkci jedné proměnné?

check_drummer · 23. 04. 2020 15:41

↑ Pomeranc:
Ahoj, to nejde vyřešit, je tam neznámá funkce y a ty integrály jsou podmínka, kterou musí ta funkce splňovat.

laszky · 23. 04. 2020 15:44 — Editoval laszky (23. 04. 2020 15:53)

↑ Byjka:

Z C-S nerovnosti plyne:

$\left|\int_0^1y(x)\,\mathrm{d}x\right| \leq \int_0^1|y(x)|\,\mathrm{d}x = \int_0^11\cdot|y(x)|\,\mathrm{d}x \leq \sqrt{\int_0^11^2\,\mathrm{d}x}\sqrt{\int_0^1y^2(x)\,\mathrm{d}x}\leq 1\cdot\sqrt{9}=3$

Pro funkcional $\Phi$ tak plati

$\Phi(y)\geq-|\Phi(y)| = -\left|\int_0^1y(x)\,\mathrm{d}x\right| \geq -3$

Pro jakou funkci je $\Phi(y)=-3$ ?

Byjka · 23. 04. 2020 17:26

↑ laszky:
Ďakujem. ďakujem :)

Byjka · 24. 04. 2020 17:11

↑ Byjka:↑ laszky:

Môžem sa ešte opýtať na ďalší postup pretože mám iné výsledky ako majú byť.

MichalAld · 24. 04. 2020 19:06

Nemá se to spíš počítat tím

$\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial y^{,}}= 0$

laszky · 24. 04. 2020 19:11

↑ MichalAld:

Jasne, ze jo. Ale v zadani to neni :-)

MichalAld

Přesněji tedy, když vezmu třeba ten první příklad, tak

$\Phi(y) = \int_{0}^{\pi}(y')^2 dx$

$y(0) = 0$
$y(\pi) = 0$

$V(y) = \int_{0}^{\pi}y^2 dx = 1$

tak by se měl hledat extrém funkcionálu

$H(y) = \Phi(y) - \lambda V(y)= \int_{0}^{\pi}((y')^2 - \lambda y^2) dx$

Takže

$L(y) = (y')^2 - \lambda y^2$

Provedeme příslušné derivace a dosadíme do toho vztahu

$\frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial y^{'}}= 0$

tím dostaneme diferenciální rovnici a její řešení (splňující též okrajové podmínky) by mělo realizovat extrém toho prvního funkcionálu i požadovanou vazbu.

Nebo se to tak nedělá ?

MichalAld · 24. 04. 2020 19:27

Jestli dobře počítám, tak by to mělo vyjít

$2\lambda y - \frac{d}{dx}2y' = 0$

tedy

$y'' - \lambda y = 0$

Dále podle mě, abychom dokázali splnit ty okrajové podmínky, musí být lambda záporné (aby tam bylo v rovnici plus, pak to bude dávat jako řešení siny a cosiny ... a z nich už lze vybrat takové, co nám okrajové podmínky splní.

Ale vše je úplně bez záruky, spíš bych byl rád, kdyby mi někdo kdo tomu trochu rozumí potvrdil nebo rozporoval ten postup...

Matematické Fórum

#1 23. 04. 2020 12:39

Matematická analýza

#2 23. 04. 2020 14:10

Re: Matematická analýza

#3 23. 04. 2020 14:38

Re: Matematická analýza

#4 23. 04. 2020 15:03

Re: Matematická analýza

#5 23. 04. 2020 15:41

Re: Matematická analýza

#6 23. 04. 2020 15:44 — Editoval laszky (23. 04. 2020 15:53)

Re: Matematická analýza

#7 23. 04. 2020 17:26

Re: Matematická analýza

#8 24. 04. 2020 17:11

Re: Matematická analýza

#9 24. 04. 2020 19:06

Re: Matematická analýza

#10 24. 04. 2020 19:11

Re: Matematická analýza

#11 24. 04. 2020 19:20 — Editoval MichalAld (24. 04. 2020 19:29)

Re: Matematická analýza

#12 24. 04. 2020 19:27

Re: Matematická analýza

Zápatí