Matematické Fórum

Pomeranc · 20. 04. 2020 15:17

Ahoj,

řeším jeden příklad.
Nemáte někdo prosím nějaký hint, jak začít?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-04/88560_Vektorov%25C3%25A1%2Bfce%2Boptimalizace.PNG

check_drummer · 20. 04. 2020 18:40

↑ Pomeranc:
Ahoj, neplyne to přímo z definice té funkce f?

Pomeranc

↑ check_drummer:

Tím pádem by se muselo ale dokázat, že q nemá kladné složky, protože pak by nebyla splněna první podmínka?

check_drummer · 21. 04. 2020 17:22

↑ Pomeranc:
No to je podle mě dáno tím, že $f(x)=\infty$ .

Pomeranc · 21. 04. 2020 18:09

↑ check_drummer:

To nemůže být tak zřejmé. Snažím se to nějak dokázat a vůbec to nejde.

Stýv · 21. 04. 2020 18:18

Kdybych to chtěl dokazovat já, začal bych s dimenzí 1 — maximálně 2 — abych si udělal trochu představu, o co tam jde.

check_drummer

↑ Pomeranc:
Dobře - tak jaká je tedy definice toho, že $f(x)=\infty$ ? Možná každý používáme jinou.

A která $u$ uvažujeme v definice funkce f - všechna a nebo jen ta, pro která platí ona podmínka "s.t."?

Pomeranc · 21. 04. 2020 22:34

↑ check_drummer:

Já to beru tak, že si dosadím za x, a pak hledám u, aby to bylo maximální.
Předpokládám, že u musí splňovat tu podmínku.

check_drummer · 22. 04. 2020 01:29

↑ Pomeranc:
Zbývá druhá otázka - jak máš definováno $f(x)=\infty$ ?

check_drummer · 22. 04. 2020 01:32

↑ Pomeranc:
aha, tak úplně triviální to není.

check_drummer · 22. 04. 2020 02:24

↑ Pomeranc:
Možná by to šlo tak že z té neomezenosti hodnoty f plyne, že existuje posloupnost vektorů $u_k$ , že $(h-Tx)^T.u_k \geq k$ a lze si rozmyslet, že $|u_k|$ neomezeně roste a tedy některá ze složek posloupnosti vektorů $u_k$ roste neomezeně do $\infty$ nebo $-\infty$ . Dál se zamyslím zítra. Možná bude stačit ostatní složky vektoru $u_n$ jen vhodně změnit, abych dostal požadované.

check_drummer

Tak nakonec bude lepší využít geometrické integrpretace:
Podmínka s.t. vlastně určuje průnik poloprostorů s hraničními nadrovinami - a aby funkce f byla neomezená, tak i tento průnik poloprostorů musí být neomezený. Z toho už z geometrické představy plyne, že můžu posuvat ty hraniční nadroviny na nadroviny s nimi rovnoběžnými a stále dostanu neprázdný a neomezený průnik těch poloprostorů (takže je posunu tak, abych dostal kýženou 0 v definici hraniční nadroviny). Jediná možná komplikace nastane, když dvě z hraničním nadrovin v s.t. budou rovnoběžné, ale to se také snadno vyřeší - ukáže se, že i tehdy nulu lze dostat.
Napsal jsem to hodně stručně, sepsat korektní důkaz dá asi trochu víc práce.

Pomeranc · 22. 04. 2020 20:33

↑ check_drummer:

Nezní to moc přesvědčivě :(

jardofpr

ahojte

myslim ze ↑ check_drummer: uvazuje spravnym smerom

Ked si zvolim $x$ , tak to ze existuje $v_x$ tak že $W^Tv_x\leq 0$ mi hovori ze existuje nejaky smer ktory

sa "cely zmesti" do polyedra ohraniceneho podmienkou $W^Tu\leq q$ bez ohladu na znamienka v $q$ .

Viem totiz najst take najmensie realne $\alpha_q>0$ ze $W^T(\alpha_q v_x)\leq q$ , zaroven pre kazde $\alpha > \alpha_q$ bude tiez $W^T(\alpha v_x)\leq q$ ,

t.j. ide o pripustne riesenia problemu.

To ze $(h-Tx)^Tv_x>0$ znamena aj ze pre realne $\alpha > 0$ je $(h-Tx)^T(\alpha v_x) = \alpha (h-Tx)^Tv_x > 0$ ,

pricom samozrejme pre $\beta > \alpha$ je $\beta (h-Tx)^Tv_x > \alpha (h-Tx)^Tv_x$ .

Kedze $\beta$ mozem skalovat do nekonecna, $f(x)$ nie je ohranicena a plati tam intuitivne ekvivalencia.

Urobit dokaz implikacie pozadovanym smerom ale bude pravdepodobne vyzadovat vetu o dualite.

EDIT: vyzadovat nie je to spravne slovo, mohol by byt jednoduchsi s jej pouzitim

jardofpr · 23. 04. 2020 12:44

Este taka otazka, standardny narok pri teoretickych ulohach ohladom max uloh byva $u\geq 0$ .
Tu to nikde nevidim. Uvazujete to implicitne? Je to dost rozdiel ak nie.

Pomeranc · 23. 04. 2020 14:49

↑ jardofpr:

Samo o sobě nepředpokládáme, že $u\geq 0$ . Taky mě to překvapilo, že tam není specifikace proměnných.

Pomeranc · 23. 04. 2020 14:58

↑ check_drummer: ↑ jardofpr:

Děkuji za pomoc s řešením.

Já si myslím, že to pořád nějak nechápu a přijde mi špatné nad tím trávit přehnaně moc času.

check_drummer · 23. 04. 2020 15:37

↑ Pomeranc:
Zkus co radil Styv - namaluj si to třeba ve 2D jen s dvěma proměnnými x,y a více vztahů v podmínce s.t. Pak uvidíš jak se to celé chová.

Matematické Fórum

#1 20. 04. 2020 15:17

Optimalizace

#2 20. 04. 2020 18:40

Re: Optimalizace

#3 20. 04. 2020 19:10 — Editoval Pomeranc (20. 04. 2020 20:34)

Re: Optimalizace

#4 21. 04. 2020 17:22

Re: Optimalizace

#5 21. 04. 2020 18:09

Re: Optimalizace

#6 21. 04. 2020 18:18

Re: Optimalizace

#7 21. 04. 2020 19:13 — Editoval check_drummer (21. 04. 2020 19:15)

Re: Optimalizace

#8 21. 04. 2020 22:34

Re: Optimalizace

#9 22. 04. 2020 01:29

Re: Optimalizace

#10 22. 04. 2020 01:32

Re: Optimalizace

#11 22. 04. 2020 02:24

Re: Optimalizace

#12 22. 04. 2020 13:45 — Editoval check_drummer (22. 04. 2020 20:16)

Re: Optimalizace

#13 22. 04. 2020 20:33

Re: Optimalizace

#14 22. 04. 2020 23:23 — Editoval jardofpr (23. 04. 2020 07:56)

Re: Optimalizace

#15 23. 04. 2020 12:44

Re: Optimalizace

#16 23. 04. 2020 14:49

Re: Optimalizace

#17 23. 04. 2020 14:58

Re: Optimalizace

#18 23. 04. 2020 15:37

Re: Optimalizace

Zápatí