Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 29. 03. 2020 16:16

Gauß69
Příspěvky: 32
Reputace:   
 

Body krivky

Ako dokázať, že krivka $C(\mathbb{F}_p): \ X^4+Y^4-Z^4=0$ má najviac $3p+4$ bodov. Pričom $\forall n\in \mathbb{N}: p \neq 2^n $ ?


Moja idea: Nájdem si nejaký bod v nekonečne, potom položím všetky priamky cez tento bod a pomocou vety od Bezouta spočítam priesečníky s krivkou C. Len ma nenapadá ako nájdem ten bod v nekonečne a ako nájdem všetky priamky prechádzajúce cez tento bod. Budem vďačný za každú radu.

Offline

 

#2 23. 04. 2020 05:59 — Editoval OiBobik (23. 04. 2020 06:27)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: Body krivky

↑ Gauß69:

To je docela rozumná strategie.

1) Počet $\mathbb{F}_p$-racionálních přímek v $\mathbb{P}^2_{\mathbb{F}_p}$, procházejících nějakým $\mathbb{F}_p$-racionálním bodem $(x_0: y_0: z_0)$, je totéž, co počet lineárních forem $aX+bY+cZ$ s koeficienty v $\mathbb{F}_p$, které můžou takovou přímku definovat, až na násobení skalárem. Ty uvažované formy tedy musí splňovat $ax_0+by_0+cz_0=0$, tj. vektor $(a, b, c)$ je brán z dvoudimenzionálního $\mathbb{F}_p$-prostoru, nesmí to být nulový vektor a bere se až na násobek. Krátce řečeno: všechny přímky procházející bodem tvoří projektivní přímku. Jejich počet je tedy roven $|\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_p)|=p+1$.

2) Zdá se mi, že z toho důvodu není dobré začínat s nějakým náhodným bodem v nekonečnu. Lepší je zvolit nějaký očividný bod na $C$, třeba $(1: 0: 1)$. Takto mi každá nová přímka přímka přidá nejvýše tři nové body, a ne potenciálně čtyři.

3) Snad se nepletu, ale jelikož jedna z těch přímek by měla být tečna v bodě $(1: 0 : 1)$, tj. násobnost dotyku by měla být alespoň $2$, díky čemuž může ta tečna protnout $C$ v nejvýše dvou dalších $\mathbb{F}_p$-racionálních bodech; ve výsledku by tedy mělo jít zlepšit ten odhad na $3p+3$. No a když si dá člověk tu právi tu tečnu spočítat a najít na ní ty body, tak stáhne ten odhad snad i na $3p+1$...


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#3 23. 04. 2020 12:37

Gauß69
Příspěvky: 32
Reputace:   
 

Re: Body krivky

↑ OiBobik:

Vdaka, pekne riesenie.


1) Mam aj ja $\frac{p^2-1}{p-1}=p+1$ moznych projektivnych priamok.

2) Jo sedi to tiez u mna, vyplyva to z vety od Bezouta.

3) Podla vety od Hasse-Weil by mal byt dokonca ten odhad $p+1+(4-1)(4-2)\sqrt{p}=p+1+6\sqrt{p}$.
Cize pre $p\geq9$ je tento odhad este presnejsi ako $3p+1$.

Offline

 

#4 24. 04. 2020 02:58

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: Body krivky

↑ Gauß69:

Ano, Hasse-Weil dává samozřejmě o dost lepší odhad, taky je to o dost hlubší výsledek než Bézoutova věta na $\mathbb{P}^2$.


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson