Matematické Fórum

Mataaa · 07. 06. 2009 15:01 — Editoval Mataaa (07. 06. 2009 20:17)

Pomožte prosím s příkladem :-O Nevím si s tím rady a je to docela naléhavé..

Šachového turnaje se zúčastnilo 10krát více chlapců než děvčat. Chlapci však získali jen 4,5krát více bodů než děvčata. V turnaji hrál každý s každým právě jednou. Za vítězství se získává 1 bod, za remízu půl bodu, za prohru žádný bod.
a) Kolik bodů získala děvčata?
b) Lze určit, kdo vyhrál turnaj?

Kdyby někoho napadlo řešení, budu ráda ;) Kdyžtak můžete napsat mail (m.mata@seznam.cz)

CzechMan · 07. 06. 2009 20:55

↑ Mataaa:
Jetřeba si povšimnout faktu, že jedna odehraná partie rozdá dohromady jeden bod. Nezáleží na tom, zda je remíza. Platí, že počet odehraných her = počet udělených bodů.

d - počet dívek
každý hraje s každým: chlapci mezi sebou hrají ${10d\choose2}$ partií (všechny neuspořádané dvojice) - tedy taky jenom těmito partiemi získají chlapci dohromady ${10d\choose2}$ bodů.

Analogicky, dívky získají dohromady z her mezi sebou ${d\choose2}$ bodů. (Samozřejmě dívek musí být více než jedna, jinak by kombinační číslo neexistovalo)

Pak se ještě spolu musí hrát každá dívka s každým chlapcem. Z kombinatorického pravidla součinu vychází, že takových her je $10d^2$ (= každé z d děvčat musí hrát s 10d chlapci).

Označím $X$ počet bodů, které z těchto her dostanou chlapci. Pak $10d^2-X$ bodů dostanou dohromady děvčata.
Ze zadání platí tento vztah:
$pocet\ bodu\ chlapcu = 4,5\cdot pocet\ bodu\ devcat$
Dosazením odvozených hodnot:
${10d\choose2}\ +\ X\ =\ \frac{9}{2}\cdot({d\choose2}\ +\ 10d^2-X)$
Což se dá upravit na
$X\ =\ \frac{d-d^2}{2}$
X je přeci počet bodů, ale ten nemůže být záporný. Existuje právě jedno d, pro které je X nezáporné: d=1.
To ale nemůže být řešení dané rovnice, protože d>1. (dívek musí být více než jedna)
Tedy nemůže nastat stav, který je v zadání, pokud v turnaji hraje více než jedna dívka.

Ještě je třeba zidiskutovat případ, že hraje pouze jedna dívka: (d=1)
Chlapci mezi sebou získají ${10\choose 2}=45$ bodů. Bodů děvčete má být dle zadání 4,5krát méně, to je 10. To by odpovídalo situaci, kdy by vyhrála nad každým z deseti chlapců. Jiná možnost není možná.
Děvče porazilo každého chlapce, tedy každý chlapec minimálně jednou prohrál. Každý chlapec hrál deset partií, tedy ten nejlepší z nich mohl vyhrát maximálně devět - méně než dívka.
Už se dá s jistotou odpovědět:
a) Děvčata získala deset bodů;
b) Ano, šachový turnaj vyhrálo děvče.

Celkem hezká úloha :)

Matematické Fórum

#1 07. 06. 2009 15:01 — Editoval Mataaa (07. 06. 2009 20:17)

Slovní úloha na rovnice a kombinace

#2 07. 06. 2009 20:55

Re: Slovní úloha na rovnice a kombinace

Zápatí