Matematické Fórum

Pieterko · 30. 04. 2020 10:59

Pro vás lehké pro mě nebe.Tento příklad jsem dostal: (A-B)^2=16x^2-1+C. Na místo C patří na výběr: a)1/8. b)1/64x^2. c)-x. d)1/4x. Vysvětlení od opravy bylo:
(4x-1/8x)^2=16x^2-1+1/64x^2.
Omlouvám se za využití vulgarismu ale nevím jaké hovado tohle vymýšlelo.

zdenek1 · 30. 04. 2020 11:05

↑ Pieterko:
A jak zní tvá otázka? Ty se totiž na nic neptáš, to se pak těžko odpovídá.

Pieterko · 30. 04. 2020 11:06

Jak se to má vypočítat↑ zdenek1:

Ferdish

↑ Pieterko:
Ono to skutočne nedáva zmysel...ale je to na dlhšie rozpisovanie. Aby som zbytočne polhodinu nepachtil príspevok a potom zistím že medzitým niekto iný odpovedal...

A je to vôbec príklad zo základnej školy?

Pieterko · 30. 04. 2020 11:46

Ano je.↑ Ferdish:

vlado_bb · 30. 04. 2020 12:11

↑ Ferdish: Navrhoval by som odpoveď rozdeliť na dve časti. V prvej by som ukázal prečo môže byť $C$ takmer úplne ľubovoľné, v druhej to, ako to myslel zadávateľ.

Ferdish

↑ Pieterko:
OK. Neviem či to dokážem vysvetliť tak aby to pochopil základoškolák, nie som učiteľ ani didaktik, ale aspoň sa o to pokúsim.

Vyriešenie príkladu predpokladá znalosť vzorca $(A-B)^{2}=A^{2}-2AB+B^{2}$ , predpokladám že ten ovládaš.
Ak sú oba členy nenulové a $A\neq B$ tak po umocnení a roznásobení zátvoriek dostaneme všetky 3 členy na pravej strane nenulové.
To nám sedí do krámu, keďže pravá strana rovnice je v tvare $16x^{2}-1+C$ , čo sú tiež 3 členy. Lenže nastáva prvý zádrhel a to priradenie ostatných členov.

Na pravej strane máme $16x^2$ , čo sa intuitívne môže rovnať buď $A^{2}$ alebo $B^{2}$ , v oboch prípadoch vedú na výsledok $A=\pm 4x$ prípadne $B=\pm 4x$ .

Ak by sme uvažovali možnosť $16x^2=-2AB\Rightarrow 8x^2=-AB$ , vďaka súčinu medzi nimi sú buď oba členy $A,B$ lineárne (obsahujú $x$ ) alebo jeden člen je kvadratický (obsahuje $x^{2}$ ) a druhý je číslo.
Prvá možnosť neprichádza do úvahy, pretože ak sú oba členy lineárne, tak sa navzájom môžu vo vnútri zátvorky $(A-B)^2$ navzájom sčítať resp. odčítať a po umocnení získame tak len jeden jediný kvadratický člen. S ohľadom na pravú stranu našej rovnice, na to aby tam zostal osamotený kvadratický člen, teda $16x^{2}$ , by muselo platiť že $C=1$ . $A,B$ by mohli byť ľubovoľne veľké lineárne členy s podmienkou, aby rozdiel $A-B=\pm 4x$ aby po umocnení dali pre nás potrebných $16x^{2}$ . Jednak tieto úvahy su podľa mňa mimo rámec ZŠ a navyše v ponúkaných odpovediach možnosť $C=1$ chýba.

Viac po obednej prestávke. Kolegovia prosím nezasahovať, prípadne ma len opravte ak mám nejaký chybný predpoklad alebo z toho vyplývajúci záver.

Pieterko · 30. 04. 2020 12:24

Tak tomuhle bych ještě rozuměl.
Zatím děkuji.↑ Ferdish:

Ferdish

Dobre teda, zatiaľ sme sa dopracovali k záveru že $A=\pm 4x$ alebo $B=\pm 4x$ .
V ďalšom budeme uvažovať riešenie $A=4x$ (pre ostatné formy riešenia by mal byť postup i záver analogický, takže ich tu nebudem dopodrobna rozpisovať).

Keďže dostávame $A^2=16x^2$ , zostáva nám vyriešiť zvyšnú časť rovnice, teda $-2AB+B^2=-1+C$ čo po dosadení za $A$ dáva

$-8Bx+B^{2}=-1+C$

Keďže na prvej strane nie je žiaden člen obsahujúci $x$ (lineárny člen), malo by z toho plynúť že $-8Bx=C$ , avšak pre ostávajúci člen zostáva $B^{2}=-1$ a táto rovnosť nemá pre $B\in \mathbb{R}$ riešenie.
Iná možnosť by bola, keby $C$ v skutočnosti bolo tvorené súčtom lineárneho člena a čísla, to by ale viedlo ku $C=-8Bx+B^2+1$ pričom $B\in \mathbb{R}$ pretože zo zadania preň nevyplýva žiadna obmedzujúca podmienka (opravte ma ak sa mýlim). Naša plejáda odpovedí však takúto možnosť pre $C$ neponúka.

Pristúpime teda ku "správnemu" riešeniu ktoré nám poskytol tvoj učiteľ (alebo učiteľka). Toto riešenie uvažuje $A=4x;B=\frac{x}{8};C=\frac{x}{64}$ . Skúsme $A,B$ dosadiť do ľavej strany:

$$A-B$^{2}=$4x-\frac{x}{8}$^{2}=$\frac{31x}{8}$^{2}=\frac{961x^{2}}{64}=15x^{2}+\frac{x}{64}$

Porovnaním s pravou stranou po dosadení za $C$ dostávame

$15x^{2}+\frac{x}{64}=16x^{2}-1+\frac{x}{64}$

čo platí iba pre $x=\pm 1$ . toto však v zadaní chýba, pre ktoré $x$ má byť daná rovnica platná. Pokiaľ mala rovnica platiť vo všeobecnosti pre ľubovoľné $x\in \mathbb{R}$ , potom je riešenie od učiteľa/učiteľky chybné.

Záver teda je, že buď si nám neposkytol kompletné zadanie úlohy (pre ktoré $x$ je rovnica platná, eventuálne ďalšie podmienky), alebo si tvoj učiteľ/tvoja učiteľka svoj príklad zle prepočítal/a (pokiaľ ho vymýšľal/a sama) alebo si neoveril/a správnosť jeho riešenia (pokiaľ ho preberal/a z nejakej učebnice alebo iného zdroja).

david_svec · 30. 04. 2020 14:30

↑ Ferdish:

Zdravím,

no já nevím, ale podle mě učitel/ka jako správné řešení uvedla $A=4x; B=\frac{1}{8x};C=\frac{1}{64x^{2}}$
Jestli mi něco uniká, tak pardon. :-)

Ferdish · 30. 04. 2020 14:33

↑ david_svec:
Ale to by platilo len vtedy ak $x=\pm 1$ čo zo zadania poskytnutého od ↑ Pieterko: nevyplýva.

Cheop · 30. 04. 2020 14:35 — Editoval Cheop (30. 04. 2020 14:40)

↑ Ferdish:
Ale pokud platí:
$-8xB=-1\\B=\frac{1}{8x}\\B^2=C=\frac{1}{64x^2}$
Tedy:
$A=4x\\B=\frac{1}{8x}\\B^2=C=\frac{1}{64x^2}$
pak je správná odpověď b)

Cheop · 30. 04. 2020 14:43

↑ Ferdish:
A proč by to platilo jen pro $x=\pm 1$ ?

Ferdish

↑ Cheop:
To plynie z rovnosti $15x^{2}+\frac{x}{64}=16x^{2}-1+\frac{x}{64}$

david_svec · 30. 04. 2020 14:48

↑ Ferdish:

Ale když si za x dosadím třeba 123, tak rovnost $(4x-\frac{1}{8x})^{2}=16x^{2}-1+\frac{1}{64x^{2}}$ stále platí.

Cheop · 30. 04. 2020 14:51

↑ Ferdish:
Je přeci úpně jedno jestli napíši toto:
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
nebo toto:
$(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$

Ferdish

↑ david_svec:
Aha, už mi to došlo...ja som vnímal všetky zápisy 1/8x a 1/64x^2 tak, že premenná je v čitateli a nie v menovateli, keďže každý nový ktorý sem príde si konvenciu pre lineárne zápisy vysvetľuje inak resp. na ňu kašle.

Takže nakoniec som zabil čas tým že nepresný zápis...ale nevadí, poučenie do budúcna trvať na presnom zátvorkovaní (konvencii pre lineárne matematické zápisy) alebo používaní LaTeXu, a to bez výnimky, v opačnom prípade ignore. Mám byť hajzel, tak nech som :-)

david_svec · 30. 04. 2020 15:09

↑ Ferdish:

:-)
Ano, souhlasím s tebou, zadavatelé by měli dodržovat pravidla závorkování, v lepším případě LaTeX. :) Poté by nevznikaly podobné omyly.

Pieterko · 30. 04. 2020 15:44

↑ Cheop:↑ Ferdish:↑ david_svec:
Pánové všem se omlouvám ať už za strávený čas nebo za zmatky příště napravím omlouvám se.

Matematické Fórum

#1 30. 04. 2020 10:59

Algebra

#2 30. 04. 2020 11:05

Re: Algebra

#3 30. 04. 2020 11:06

Re: Algebra

#4 30. 04. 2020 11:39 — Editoval Ferdish (30. 04. 2020 11:42)

Re: Algebra

#5 30. 04. 2020 11:46

Re: Algebra

#6 30. 04. 2020 12:11

Re: Algebra

#7 30. 04. 2020 12:16 — Editoval Ferdish (30. 04. 2020 12:23)

Re: Algebra

#8 30. 04. 2020 12:24

Re: Algebra

#9 30. 04. 2020 14:19 — Editoval Ferdish (30. 04. 2020 14:23)

Re: Algebra

#10 30. 04. 2020 14:30

Re: Algebra

#11 30. 04. 2020 14:33

Re: Algebra

#12 30. 04. 2020 14:35 — Editoval Cheop (30. 04. 2020 14:40)

Re: Algebra

#13 30. 04. 2020 14:43

Re: Algebra

#14 30. 04. 2020 14:43 — Editoval Ferdish (30. 04. 2020 14:44)

Re: Algebra

#15 30. 04. 2020 14:48

Re: Algebra

#16 30. 04. 2020 14:51

Re: Algebra

#17 30. 04. 2020 14:54 — Editoval Ferdish (30. 04. 2020 15:02)

Re: Algebra

#18 30. 04. 2020 15:09

Re: Algebra

#19 30. 04. 2020 15:44

Re: Algebra

Zápatí