Matematické Fórum

↑ ttyynnaa1098:
Stredni hodnota se da povazovat za vazeny prumer. Jinymi slovy kdyby ses divala na nahodne generovana cisla, ktera se ridi tou danou hustutou pravdepodobnosti, vychazi prumer techto nahodnych cisel stejne jako stredni hodnota. Ve tvem pripade je prumer tech nahodnych cisel nekonecno.

No mě šlo o to jestli je to nekonečno nebo neexistuje. Protože ve skriptech se píše, že střední hodnota existuje jen tehdy když má integrál konečnou hodnotu. Díky.

↑ MichalAld:
Píšou to tam, ale jak to, že nemá střední hodnotu? Když kouknu na graf, tak je střední honota úplně jasně x0 (na tom obrázku wikipedie). A když to spočtu, tak integrál taky vyjde 0... (když počítám standardní Cauchyovo rozdělení).

↑ kastanek:

jak píše check_drummer, nevlastní integrál je vlastně limita, a když má nevlastní i spodní i horní mez, je to vlastně limita dvou proměnných - a ta nemusí obecně existovat.

Aby existovala (aby existoval ten integrál) nesmí záležet na tom, jakým způsobem se blížíme k těma dvěma mezím. Nikde není napsáno, že se musíme blížit stejným způsobem.

Také je to popsáno třeba tady:

kastanek napsal(a):

Já se v různých definicích neorientuji …

To je právě ten problém. Pro pochopení toho, proč Cauchyovo rozdělení nemá střední hodnotu, je podstatný vědět, jak je definován Lebesgueův integrál.

↑ kastanek:
Chapu, jak uvazujes a jak argumentujes, proc by stredni hodnota mela byt 0. Ten tvuj pristup se jmenuje "Cauchy principal value" (cesky hlavni hodnota integralu) - doctes se o tom v tom odkazu, co poslal Michal Ald.

Hlavni hodnota integralu z liche spojite funkce je opravdu 0. Nicmene to neni totez jako pocitat ten integral. V principu bychom mohli zmenit definici stredni hodnoty tak, aby se kryla s definici hlavni hodnoty integralu. Mozna by to bylo intuitivnejsi. Potom by ale zase doslo k tomu, ze nektera tvrzeni z pravdepodobnosti bychom museli trochu preformulovat nebo upravit jejich predpoklady.

kastanek napsal(a):

Děkuji za reakci. Ale cílem tohoto integrálu je v tomto případě prostě a jen spočítat plochu pod grafem.

Ono totiž ... integrál je integrál, ať už je definovaný jak chce, nikdy to není tak, že "v tomto případě prostě...chceme aby vyšlo tohle, tak to má nějak vyjít".

Můžeme si samozřejmě vymyslet alternativní definici střední hodnoty ... ale pak to už zase bude jiná vlastnost než podle té standardní definice. Takže to nelze nazývat střední hodnota.

Pro integrál by například mělo platit, že když si jeho interval rozdělíme na několik úseků, můžeme spočítat každý zvláš a jejich součet musí dát dohromady integrál přes celý úsek. Takže by mělo platit, že např:



Jenže když nám první část vyjde vždy a poslední , a prostřední může vyjít úplně libovolné konečné číslo, tak tuhle podmínku prostě splnit nedokážeme.

Kdyby levý i pravý integrál vyšly plus nekonečno, tak s tím problém není, a můžeme říct že výsledek je nekonečno. Jenže takto je prostě výsledek "neurčitý výraz".

Je to úplně stejné, jako výraz typu 0/0. Ano, když víme, že jde o x/x, tak je výsledek 1, jenže ono může jít stejně tak dobře o výraz typu 5x/x, což je 5, nebo sin(x)/x, což už na první pohled není ani jasné, kolik by to mělo být.

S nevlastními integrály je to úplně stejné - aby výsledek existoval, musí být jednoznačný, nezávislý na způsobu, jak se k němu dopočítáme.


A to, že integrál pro střední hodnotu neexistuje může mít důsledky i pro praxi. Já nevím, jestli to tak opravdu je, ale může to tak být ... že i když se budeme pokoušet spočítat střední hodnotu z nějakého množství náhodných hodnot, může se nám stát, že ji prostě nespočítáme. A že nám zvětšování počtu hodnot nepomůže. Skoro mě láká si to vyzkoušet...

MichalAld napsal(a):

Já nevím, jestli to tak opravdu je, ale může to tak být ... že i když se budeme pokoušet spočítat střední hodnotu z nějakého množství náhodných hodnot, může se nám stát, že ji prostě nespočítáme. A že nám zvětšování počtu hodnot nepomůže.

viz bod 2) mýho příspěvku hned nad tvým

↑ kastanek: Četls vůbec, co jsme psali? Že nejde o nějakou formalitu, ale že ta (ne)existence střední hodnoty má důležitý důsledky?

↑ kastanek: Napsal jsem přesně to, co jsem napsat chtěl. Ale ty ses holt rozhodl odvozovat si vlastní alternativní matematiku z pohledu na graf. Na tom není nic špatného, ale když si definuješ střední hodnotu po svém, zjistíš, že ti k ničemu není, protože o ní neplatí spousta užitečných tvrzení, která pro klasickou definici platí.

↑ kastanek:

Když budu náhodně házet mincí, a pana znamená krok v kladném směru, a orel zase krok v záporném, tak by se taky zdálo, že pro velký počet hodů musí zůstat ten chodec namístě, a přitom to tak není (a důsledkem je Brownův pohyb)

↑ kastanek:
Ve fyzice se s tím občas setkáváme, že nám divergují věci, které bychom potřebovali aby nedivergovaly...

a tak se zkouší různé hacky, jak se k nějakému výsledku dopracovat.

Takže třeba to standardní Cauchyovo rozdělení



bychom mohli nahradit něčím, co se nebude moc lišit, třeba




a to už střední hodnotu mít bude. Můžeme dokonce sestrojit celou řadu takovýchto rozdělení, jejichž parametr se bude čím dále více blížit té dvojce ... a pro každé z nich určit střední hodnotu ... a střední hodnotu Cauchyova rozložení považovat za limitu této řady.


Jenže při takovýchto hrátkách musíme být dost opatrní, protože podobným způsobem lze také nadefinovat například součet řady 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... a vyjde konečné číslo.