Matematické Fórum

2M70 · 06. 05. 2020 15:34

Zdravím,

hledám záhadnou chybu v tomto příkladu:

Mám integrál
$\int_{|z|=2}^{}\frac{e^{z}}{z^{2}-1}dz$

s výsledkem
$\int_{|z|=2}^{}\frac{e^{z}}{z^{2}-1}dz=i\pi (e-e^{-1})$

Rozklad na parciální zlomky a Cauchyova věta dávají spávný výsledek.

Zato použití reziduové věty dává:

Reziduum v (-1) = $\lim_{z\to -1}\frac{e^{z}}{z-1}=\frac{e^{-1}}{2}$

Reziduum v (+1) = $\lim_{z\to 1}\frac{e^{z}}{z+1}=\frac{e}{2}$

Póly jsou na reálné ose, nutno použít lemmatu o obcházení pólů násobnosti jedna:

Integrál = $i(\beta -\alpha ).Res_{z}$

Integrál pro Res = (-1): $i(\pi -0 ).Res_{-1}=i\pi .(-\frac{e^{-1}}{2})$
pro Res = (1) = $i(\pi -0 ).Res_{1}=i\pi .(\frac{e}{2})$

Po sečtení: $i\pi .(\frac{e}{2}-\frac{e^{-1}}{2})$
Integrál přes horní velkou půlkružnici vymizí - Jordanovo lemma

Tedy poloviční hodnota správného výsledného integrálu.

Pokud bychom "se vykašlali" na obcházení pólů násobnosti jedna, dostali bychom správný výsledek

$2\pi i.\sum_{}^{}Res=2\pi i(\frac{e}{2}-\frac{e^{-1}}{2})=\pi i(e-e^{-1})$

Což však v žádném případě není "košer" způsob výpočtu.

Mohl bych poprosit o radu, kde je v tom obcházení pólu násobnosti jedna chyba?

Předem díky!

Stýv · 06. 05. 2020 17:05

2M70 napsal(a):
Póly jsou na reálné ose, nutno použít lemmatu o obcházení pólů násobnosti jedna

To říká kdo?

2M70 · 06. 05. 2020 17:08

↑ Stýv:

Nás to tak při probírání reziduové věty učili :-)

Stýv · 06. 05. 2020 17:18

↑ 2M70: O tom bych si dovolil pochybovat. Jak zní zmíněné lemma?

2M70 · 06. 05. 2020 17:23

↑ Stýv:

Miimo jiné na stránce 8 téhle vzorové písemky, google nabízí i další odkazy.

https://www.karlin.mff.cuni.cz/~prusv/v … F062-A.pdf

Stýv · 06. 05. 2020 17:35

↑ 2M70: A máš pocit, že tvoje křivka splňuje předpoklady toho lemmatu?

2M70 · 06. 05. 2020 17:39

↑ Stýv:

Řekl bych, že ano, mám dva jednonásobné póly na reálné ose a ty musím "obejít".

Stýv · 06. 05. 2020 17:53

↑ 2M70: Kde se v tom lemmatu mluví o reálné ose?

2M70 · 06. 05. 2020 17:58

↑ Stýv:

To jsem nezkoumal. Prostě jsem to bral tak, že obcházení pólů na reálné ose vede k tomuto postupu výpočtu.

Stýv · 06. 05. 2020 18:26

↑ 2M70: Tak to prozkoumej. ;-)

2M70 · 06. 05. 2020 19:48

↑ Stýv:

Je to blbý, času málo a nemůžu se na dlouho věnovat jednomu příkladu.

Jj · 06. 05. 2020 20:51

↑ 2M70:

Hezký den.

Code:

Pokud bychom "se vykašlali" na obcházení pólů
 násobnosti jedna, dostali bychom správný výsledek

Brání tomu něco? Mi už se ve stáří nuance těchto výpočtů dávno "vykouřily" z hlavy, ale řekl bych, že se integrál bude rovnat právě součtu rezidují ve vnitřku oblasti omezené křivkou |z| =2.
(V podstatě jde myslím o typický případ možnosti podobného výpočtu).

2M70 · 06. 05. 2020 21:21

↑ Jj:

Hezký den,

koukám, že jsem si, zřejmě špatně, vsugeroval, že se musí vždy integrovat přes horní půlkružnici a póly na reálné ose "obejít" podle toho lemmatu.

Matematické Fórum

#1 06. 05. 2020 15:34

Další integrál na reziduovou větu

#2 06. 05. 2020 17:05

Re: Další integrál na reziduovou větu

2M70 napsal(a):

#3 06. 05. 2020 17:08

Re: Další integrál na reziduovou větu

#4 06. 05. 2020 17:18

Re: Další integrál na reziduovou větu

#5 06. 05. 2020 17:23

Re: Další integrál na reziduovou větu

#6 06. 05. 2020 17:35

Re: Další integrál na reziduovou větu

#7 06. 05. 2020 17:39

Re: Další integrál na reziduovou větu

#8 06. 05. 2020 17:53

Re: Další integrál na reziduovou větu

#9 06. 05. 2020 17:58

Re: Další integrál na reziduovou větu

#10 06. 05. 2020 18:26

Re: Další integrál na reziduovou větu

#11 06. 05. 2020 19:48

Re: Další integrál na reziduovou větu

#12 06. 05. 2020 20:51

Re: Další integrál na reziduovou větu

Code:

#13 06. 05. 2020 21:21

Re: Další integrál na reziduovou větu

Zápatí