Matematické Fórum

sqrt(211) · 13. 05. 2020 11:37

Sinus-kosinová věta pro řešení sférických trojúhelníků:
$sin(a)cos(\beta)=cos(b)sin(c)-sin(b)cos(c)cos(\alpha)$
Narazil jsem na vzorec z ní odvozený (bohužel bez vlastního odvození), který ale implikuje tvar:
$sin(a)cos(\gamma)=cos(c)sin(b)-sin(c)cos(b)cos(\alpha)$
Tento tvar nelze z původního tvaru získat cyklickými záměnami, zaměňuje se způsobem:
$b \leftrightarrow c$
$\beta \leftrightarrow \gamma$
Proměnné $a$ a $\alpha$ zůstávají.

Je tento způsob zaměňování korektní? Lze to nějak dokázat?
Díky za objasnění.

nejsem_tonda · 13. 05. 2020 23:46

↑ sqrt(211):
To je podle me jenom prejmenovani vrcholu.

Pokud se ta veta dokazala pro obecny trojuhelnik (coz predpokladam), tak nam prece nic nebrani vrcholy jakkoliv prejmenovat. Jinymi slovy pokud veta nema zady nesymetricky predpoklad, dokazali jsme ji pro vsechny mozne zameny promennych.

sqrt(211) · 14. 05. 2020 09:03

Pokud přejmenujeme vrcholy, tak ta "necyklicky odvozená" druhá věta bude pro fyzický tvar toho trojúhelníka znamenat totéž jako jedna z cyklických záměn původní věty.
Mě jde o to, jestli bude "necyklicky odvozená" věta platit i bez přejmenování vrcholů.

Konkrétně jsem na problém narazil v textu zde:
https://www.vutbr.cz/www_base/zav_prace … le_id=6287
Na str. 18 je po slovech "Pokud použijeme větu sinus-kosinovou ve tvaru:" věta s již dosazenými proměnnými. Když tam místo dosazených proměnných vrátím a, b, c (podle obrázku výše, bod $P_{SS}$ označím A a zbytek podle běžných pravidel), vyjde mi právě ta "necyklicky odvozená" věta.

nejsem_tonda

↑ sqrt(211):

Pokud přejmenujeme vrcholy, tak ta "necyklicky odvozená" druhá věta bude pro fyzický tvar toho trojúhelníka znamenat totéž jako jedna z cyklických záměn původní věty.

Bohuzel se v tvych slovech ztracim.
Nevim, co presne myslis tim, ze veta plati pro "fyzicky tvar" toho trojuhelnika.
Ani nerozumim pojmu "necyklicky odvozena".

Kdyby odvozeni obsahovalo nejaky predpoklad (napr. ze uhel beta je nejmensi), tak to by byl problem. O tom uz jsem psal. Pak bychom nemohli jednoduse prohodit oznaceni beta a gama, protoze bychom tim prohozenim mohli porusit ten predpoklad.

Ten "fyzicky tvar" by mohl hrat roli zase jenom tehdy, kdybychom jej v dukazu nejak vyuzivali (napr. ze strana c je nejvetsi). Pokud jsme nijak "fyzicky tvar" nevyuzili (tj. neudelali jsme zadny nesymetricky predpoklad), bude veta platit i pro jakykoliv jiny trojuhelnik s jakkoliv oznacenymi vrcholy. Tedy shodou okolnosti i pro trojuhelnik, ktery ma stejny "fyzicky tvar" jako puvodni trojuhelnik, ale opacne pojmenovane vrcholy B, C. To potom znamena, ze pro puvodni trojuhelnik plati dokonce dve tvrzeni:
$\sin a\cos\beta=\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos\alpha$
$\sin a\cos\gamma=\cos c\sin b-\sin c\cos b\cos\alpha$

Jeste jinak receno: Pokud v dukazu neni zadny, jak jsem to nazval, nesymetricky predpoklad, muzu cely dukaz krok po kroku zopakovat s tim, ze misto b budu vsude psat c (resp. misto beta vsude gama) a naopak.

Mě jde o to, jestli bude "necyklicky odvozená" věta platit i bez přejmenování vrcholů.

Ano. To se prave snazim rict.

sqrt(211) · 14. 05. 2020 11:22

↑ nejsem_tonda:
Děkuju za trpělivost s vysvětlováním.
"Fyzickým tvarem" jsem myslel skutečné poměry v trojúhelníku bez ohledu na jejich pojmenování.
Dobrá, formuloval jsem to dost zmateně, zkusím to znovu:

První rovnici (sinus-kosinovou větu) označme (1).
Druhou rovnici označme (2).

Na obrázku je takto označený trojúhelník:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2020-05/47804_trojuhelnik.png

Rovnici (1) pro něj považujeme za platnou. Vyplývá z platnosti rovnice (1) i platnost rovnice (2) za předpokladu, že neměníme označení trojúhelníka?

nejsem_tonda

↑ sqrt(211):

"Fyzickým tvarem" jsem myslel skutečné poměry v trojúhelníku bez ohledu na jejich pojmenování.

Ok, tak to jsem uhodl a plati vse, co jsem napsal do prispevku #4.

Vyplývá z platnosti rovnice (1) i platnost rovnice (2) za předpokladu, že neměníme označení trojúhelníka?

Ne, ze samotne platnosti rovnice (1) jeste nevyplyva rovnice (2).

Platnost (2) vyplyva ze zpusobu dukazu rovnice (1). Pokud jsme v dukazu (1) nevyuzili zadny nesymetricky predpoklad (jinymi slovy cely dukaz je nezavisly na tom, jak jsme si vrcholy oznacili), pak z nej vyplyva platnost (2).

Mozna pomuze bavit se o jednoduchych tvrzenich:
Pythagorova veta je prikladem tvrzeni, ktere ma nesymetricky predpoklad (a vyuziva ho samozrejme i ve svem dukazu). Tam predpokladame (napriklad) $\gamma=90^\circ$ a potom pro takovy "fyzicky tvar" plati tvrzeni $c^2=a^2+b^2$ , ale uz neplati treba $b^2=a^2+c^2$ .
Kosinova veta je prikladem tvrzeni, ve kterem neni zadny nesymetricky predpoklad. Tedy kdyz dokazeme jeji jednu verzi $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ (v dukazu jsme nepouzili zadny nesymetricky predpoklad!), plyne z ni pro stejny "fyzicky tvar" uz jakakoliv jina verze, napriklad $b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta$ . Figl je v tom, ze dukaz byl natolik obecny, ze jsme verzi $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$ dokazali uz rovnou pro vsechny trojuhelniky s jakymkoliv oznacenim.

sqrt(211) · 14. 05. 2020 13:13

↑ nejsem_tonda:
Děkuji mnoho, teď už v tom snad mám jasno -- hlavně jsem konečně jsem pochopil, co je to nesymetrický předpoklad. Ještě jednou díky.

nejsem_tonda · 14. 05. 2020 20:21

↑ sqrt(211):

Děkuji mnoho, teď už v tom snad mám jasno -- hlavně jsem konečně jsem pochopil, co je to nesymetrický předpoklad.

Za malo. Termin nesymetricky predpoklad taky neni oficialni termin, ale prislo mi to nejsmysluplnejsi pojmenovani predpokladu, ktery potom znemozni prohazovani pismenek.

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2020 11:37

Necyklické záměny proměnných - je něco takového možné?

#2 13. 05. 2020 23:46

Re: Necyklické záměny proměnných - je něco takového možné?

#3 14. 05. 2020 09:03

Re: Necyklické záměny proměnných - je něco takového možné?

#4 14. 05. 2020 10:58 — Editoval nejsem_tonda (14. 05. 2020 11:01)

Re: Necyklické záměny proměnných - je něco takového možné?

#5 14. 05. 2020 11:22

Re: Necyklické záměny proměnných - je něco takového možné?

#6 14. 05. 2020 12:37 — Editoval nejsem_tonda (14. 05. 2020 12:49)

Re: Necyklické záměny proměnných - je něco takového možné?

#7 14. 05. 2020 13:13

Re: Necyklické záměny proměnných - je něco takového možné?

#8 14. 05. 2020 20:21

Re: Necyklické záměny proměnných - je něco takového možné?

Zápatí