Matematické Fórum

Gauß69 · 25. 05. 2020 20:48

Nech je $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ konvexná funkcia, diferencovatelná v bode $y \in \mathbb{R}$ , nech $p\geq 1, M>0$ tak, že platí:
$\vert f(x)\vert\leq M(1+\vert x\vert ^p)\ \forall x \in \mathbb{R}.$
Dokáž, že
$\vert f^\prime (y) \vert\leq cM(1+\vert y\vert ^{p-1}),$
pričom $c$ je konštanta, ktorá závisí iba od $p$ .

Moj nápad:
1. Využil by som túto vlastnosť konvexnej funkcie: $\lambda f^\prime (u)w\leq f(u+\lambda w)-f(u) \ \forall u,w\in \mathbb{R}, \lambda >0$
2. Dokázal by som pomocou 1. bodu že pre $h>0$ platí: $f^{\prime}(y)\leq c\frac{1+h^p+\vert y \vert ^{p}}{h}$ a tiež $f^{\prime}(y)\geq c\frac{1+h^p+\vert y \vert ^{p}}{-h}$
3. Nejako si pekne zvoliť h, aby mi vyšla želaná nerovnosť.

Bohužial ma nenapadá ako sa dostať z 1. bodu do bodu 2. a taktiež neviem ako si zvoliť h, aby mi to sedelo. Za každú radu budem vďačný.

Gauß69

Funkcia $\vert \cdot \vert ^p$ je tiež konvexná funkcia. Pomocou Jensenovej nerovnosti som sa dostal od 1. bodu do bodu 2.

Teraz už mi treba len zadefinovať nejako $h$ aby to sedelo a bude všeko fajn. Stále ma nenapadá bohužial ako.

Matematické Fórum

#1 25. 05. 2020 20:48

Ohraničenie derivácie konvexnej funkcie

#2 25. 05. 2020 21:47 — Editoval Gauß69 (25. 05. 2020 21:48)

Re: Ohraničenie derivácie konvexnej funkcie

Zápatí