Matematické Fórum

Safoo · 06. 06. 2009 12:15 — Editoval Safoo (06. 06. 2009 12:29)

Zdravim,
potreboval by som pomoct s prepocitanim prikladov zo skusky z linearnej algebry. Vacsinu prikladov som uz vypocital aj sam, takze by som poprosil hlavne kontrolu to mam spravne. Dakujem za kazdu radu.

Zadanie:

1.) Priklad:

Bazy som si zvolil: $A = \{(0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0)\} \ - \ baza \ pre \ V_3(R) \nl B = \{(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)\} \ - \ baza \ pre \ V_4(R) \nl$
Dalej viem ze :
$(0, 0, 1) -> (-2, -1, 2, 1) \nl (0, 1, 0) -> (3, 2, -1, 0) \nl (1, 0, 0) -> (0, 1, 2, 2) \nl$
Potom bude matica lin, zobrazenia vyzerat takto:
$\begin{bmatrix}-2&3&0\nl-1&2&1\nl2&-1&2\nl1&0&2\end{bmatrix}$

Dalej my vyslo:
$dim(Ker(\phi)) = 1$ Lebo iba jeden vektor sa zobrazi do (0, 0, 0, 0) a to vektor (0, 0, 0)
Moja otazka dalej znie, ako vypocitat $dim(Im(\phi))$ ?

2.) Priklad je celkom lahky. Vlastne cisla aj vlastne vektory som vypocital ale neviem ako mam zistit ci je podobna s diagonalnou.
3.) Priklad :

Obalka mi vysla: $[(0, 1, -2, 2), (2, 1, 1, 0)]$
Vypocital som ju tak ze som si tie 3 vektory z M dal do matice a upravil na GT, pricom my vysiel jeden riadok nulovy a zvysne 2 su podla
mna tie vektory co su v obalke. Dimenzia obalky je potom asi pocet volnych premennych v obalke teda 3?

4.) Priklad

Vypocital som si vzdialenosti priamok od bodu cez Grammovu maticu a vyslo mi ze vzdialenost priamky p od bodu je priblizne 2,16
a priamky q je 1,095 teda priamka q je blizsie.

5.) Priklad neviem

Kondr · 09. 06. 2009 02:19

K 1) jádro je opravdu {(0,0,0)}, což je vektorový prostor dimenze 0 (ne 1).
dimenze obrazu je počet lineárně nezávislých obrazů bázových vektorů ... stačí ty tři vektory napsat do matice a ověřit nezávislost.

2)Každou matici lze převést na Jordanův kanonický tvar, tj. na skoro diagonální matici (takovou, že má na diagonále vlastní čísla a nad diagonálou jedničky v tzv. Jordanových buňkách). Pokud ti vyšly 3 vlastní vektory, pak mají Jordanovy buňky velikost 1 a obsahují pouze vlastní čísla, žádné jedničky. To by znamenalo, že je matice diagonální. Vlastní vektory jsem ale nepočítal, pokud stojíš o kontrolu, napiš svoje výsledky. Doporučuju něco přečíst o Jordanově kanonickém tvaru, je tu na to určitě pár odkazů na fóru.

3)Souhlas.

4)První výsledek jsem na www.wolframalpha.com naťukal jako min(norm([3,2,2]-[1,2,-1]-t*[2,2,2])) a vyšel, druhý si tam v případě zájmu naťukej sám ;)

5)Vzdálenost bodu [X,Y] od přímky x+y=0 je rovna (X+Y)/sqrt(2) (takový ten vzorec pro vzdálenost bodu od přímky, nebo si nakreslit obrázek), vzdálenost odbodu [3,3] je sqrt((X-3)^2+(Y-3))^2. Pro body z M má platit (X+Y)/sqrt(2)=2sqrt((X-3)^2+(Y-3))^2, po umocnění a vynásobení 2
X^2+2XY+Y^2=8X^2-48X+8Y^2-48Y+144
7X^2-2XY+7Y^2-48X-48Y+144=0
kuželosečka to je, rovnici máme. Napíšeme si její matici:
7 - 1 -24
-1 7 -24
-24 -24 144
Spočítáme determinant minoru
7 -1
-1 7
vyjde kladné číslo, jde tedy o (případně degenerovanou) elipsu. Degenerovanost vyloučíme určením determinantu celé matice (musí vyjít nenulový).

Matematické Fórum

#1 06. 06. 2009 12:15 — Editoval Safoo (06. 06. 2009 12:29)

Linearna algebra

#2 09. 06. 2009 02:19

Re: Linearna algebra

Zápatí