Matematické Fórum

BakyX · 29. 05. 2010 22:29

Daný je deltoid ABCD s uhlami pri vrcholoch B, C, D po rade 90°, 135°, 90° a dĺžkou uhlopriečky |BD| = sqrt(2) cm. Vypočítajte presne dĺžku uhlopriečky AC.

Úloha je celkom jednuduchá. Avšak táto úloha je určená pre riešenie BEZ kalkulačky. Ďakujem za pomoc

frank_horrigan · 30. 05. 2010 10:29

Dobrá, nejdříve brainstorming, potom z toho zkusím udělat nejaký vzorec na výpočet (prostě to zobecním):

Tedy deltoid má vždy dvě přiléhající strany stejně dlouhé - delší úhlopříčka bude půlit úhly při vrcholech A a C. Je to čtyřúhelník, pro každý 4úhl platí že součet vnitřních úhlů je 360°. Delší úhlopříčka vždy půlí tu kratší (já vím, zavádějící definice, myslím v klasickém "konvenčním" deltoidu ve tvaru papírového draka)

Takže, máme celkem 2 páry shodných pravoúhlých trojúhelníků, co potřebujeme je spočítat jednu z odvěsen. To vede na goniometrické funkce, úhly u vrcholů A a C vypadají celkem rozumně, 135 (90+45, tabulková hodnota) a 45 (taky).

Když nesmí být kalkulačka, můžou být tabulky??? Jednodušší cestou potřebuju tangenty polovin úhlů 135 a 45

Mám-li tangenty polovin úhlů, snadno dopočtu přilehlé odvěsny a ty sečtu, mám délku

Další možnost. Hledaná příčka je přeponou pravoúhlému trojúhelníku s pravým úhlem u vrcholu B (D). Znám však jenom výšku na přeponu a všechny tři úhly, které jsou opět půlkami těch hezkých tabulkových.... Ty tabulky by mi hodně pomohly ;)

Pavel Brožek · 30. 05. 2010 10:52

↑ frank_horrigan:

Žádné tabulky nejsou potřeba :-).

$x_1=t\cdot\rm{tg}\alpha\nl x_2=t\cdot\rm{cotg}\alpha$

$x_1+x_2=t\cdot$\rm{tg}\alpha+\rm{cotg}\alpha$=t\cdot$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$=\nl =t\cdot$\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}$=t\cdot$\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$=\frac{2t}{\sin2\alpha}$

Teď už stačí dosadit $t=\frac{\sqrt2}{2}$ a $\alpha=\frac{\pi}{8}$ . Sinus úhlu $\frac{\pi}{4}$ si snad každý pamatuje, případně dokáže odvodit.

frank_horrigan · 30. 05. 2010 10:59

↑ BrozekP:

Teda, klobouk dolu. Nejsem si úplně jistý, zda žáci ZŠ znají vlastnosti funkce tangents ve vztahu k poměru sinu versus cosinu (sám si to musím malovat, a to předpokládá že "vím co hledám"), ale řešení je to elegantní a moc pěkně udělané :)

Pavel Brožek · 30. 05. 2010 11:07

↑ frank_horrigan:

Díky. Přehlédl jsem, že to je v sekci ZŠ, možná by se to dalo řešit jinak, teď mě ale nic nenapadá.

BakyX · 30. 05. 2010 11:12 — Editoval BakyX (30. 05. 2010 11:52)

↑ BrozekP:

To riešenie je fakt skvelé, aj keď je trocha za ZŠ. Na ZŠ sa vzťahy medzi gonimetrickými funkciami asi nepreberajú. Ale mne to stačí. Ďakujem

Pre zaujímavosť: Dalo by sa to aj nejakým spôsobom adekvátnym k učivu ZŠ ?

jelena · 30. 05. 2010 13:21

Zdravím vás,

podle Bělouna goniomerické funkce jsou probírány, úlohy s použitím gon. funkcí pro pravoúhlý trojúhelník jsou řešeny. Ale tady se mi zdá, že vzhledem k hodnotě velikosti úhlopříčky by možna stalo za to doplnit do nákresu čtverec tak, aby BD byla jeho úhlopříčka atd.

Musím ovšem momentálně umývat podlahu, tak to berte jen jako námět (v mém provedení to možna zůstane námět i nadále).

Pavel Brožek · 30. 05. 2010 13:34

↑ jelena:

Zdravím, tady jsem si čtverec s úhlopříčkou BD nakreslil:

Možná jsem to špatně pochopil, ale nevidím, jak by nám to mohlo pomoct.

jelena · 30. 05. 2010 13:38

↑ BrozekP:

Děkuji. Tak třeba délka AX je jasná (ale já musím tu podlahu :-)

Pavel Brožek · 30. 05. 2010 13:48

↑ jelena:

No jo :-). Ale co s SC, případně CY?

jelena · 30. 05. 2010 15:17 — Editoval jelena (30. 05. 2010 15:19)

↑ BrozekP:

A teď bych navrchovala udělat přímku bodem C, rovnoběžně BD (vznikne trojuhelník B´YD´) a zaměřit se na podobnost trojuhelníků B´YD´a BYD.

Já se ovšem musím zaměřít na něco zcela jiného :-)

Edit: opravila jsem označení vrcholu trojuhelníku.

jelena · 03. 06. 2010 13:15

Bylo to, prosím, v pořádku pomocí prostředků ZŠ?

Abych to mohla označit za vyřešene. Děkuji.

Pavel Brožek · 06. 06. 2010 11:50

↑ jelena:

Už jsem se dopracoval k výsledku postupem, který navrhuješ :-). (Tedy bez jakéhokoliv použití trigonometrických funkcí.)

BakyX · 06. 06. 2010 12:12

A môžeš ho prosím napísať ako všeobecný vzorec ?

Pavel Brožek · 06. 06. 2010 12:52

↑ BakyX:

Nerozumím, jak to myslíš. Výsledek je 2.

BakyX · 06. 06. 2010 12:54 — Editoval BakyX (06. 06. 2010 12:54)

Tak, že napísať vzorec pre BD=x na výpočet AC. (alebo aspoň hoď kompletny postup) prosím

Pavel Brožek · 06. 06. 2010 14:39

↑ BakyX:

Pokud víš, že výsledek pro $|BD|=\sqrt2$ bude $|AC|=2$ , tak z podobnosti deltoidů je jasné, že obecně bude $|AC|=\sqrt2|BD|$ . Tak ten postup:

Trojúhelník BXA je rovnoramenný, proto |BX|=|XA|. |BX| ale známe, protože je to přepona pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku BSX. Známe tedy délku AS.

$|AS|=|AX|+|XS|=|BX|+|XS|=\sqrt2|BS|+|BS|=|BD|\cdot\frac{1+\sqrt2}{2}$ .

Trojúhelníky DSY a D'CY jsou podobné. Platí tedy

(1) $\frac{|DY|}{|D'Y|}=\frac{|SY|}{|CY|}$ .

Teď rozeberu jednotlivé délky v této rovnosti:
1) D'Y je přepona pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku D'CY: $|D'Y|=\sqrt2\cdot|D'C|$ .
2) $|DY|=|DD'|+|D'Y|$ . Trojúhelník CD'D je rovnoramenný, proto $|DD'|=|D'C|$ . Pokračuji ve výpočtu délky |DY|:
$|DY|=|D'C|+|D'Y|=|D'C|+\sqrt2|D'C|=|D'C|(1+\sqrt2)$
3) $|SY|=|SB|=\frac12|BD|$
4) $|CY|=|SY|-|SC|=|SB|-|SC|=\frac12|BD|-|SC|$

To vše teď dosadím do rovnosti (1):

$\frac{|D'C|(1+\sqrt2)}{\sqrt2\cdot|D'C|}=\frac{\frac12|BD|}{\frac12|BD|-|SC|}$

a vyjádřím |SC|.

$|SC|=|BD|\cdot\frac{1}{2+2\sqrt2}$

$|AC|=|AS|+|SC|=|BD|\cdot\frac{1+\sqrt2}{2}+|BD|\cdot\frac{1}{2+2\sqrt2}=\sqrt2\cdot|BD|$

BakyX · 06. 06. 2010 14:45

Super..THx

Cenobita

↑ Pavel Brožek:

α+ β + γ + δ = 360°; součet vnitřních úhlů čtyřúhelníku (zde deltoidu)

α=360°-90°-90°-135°=45°=π/4

Ještě bych si dovolil zjednodušit řešení:

tan(45°)=cotg(45°)=1
tan(π/4)=cotg(π/4)=1

|BD|=√2

t=|BD|/2

t=√2/2

x1+x2=t*( tan(α) + cotg(α) )=t*(1+1)=t*2=√2/2 * 2 = √2

t=|AC|=√2
=======

vlado_bb · 31. 05. 2020 11:10

↑ Cenobita: Zadavatel sa po 10 rokoch a 2 dnoch dockal ... :)

misaH · 31. 05. 2020 11:12

↑ vlado_bb:

Hehe...

Cenobita · 31. 05. 2020 11:20

↑ vlado_bb:
Nejde o toho původního tazatele, ale o to, že tam byly v tom "nejlepším řešení" zbytečné goniometrické úpravy, které jsou matoucí.

Matematické Fórum

#1 29. 05. 2010 22:29

Deltoid

#2 30. 05. 2010 10:29

Re: Deltoid

#3 30. 05. 2010 10:52

Re: Deltoid

#4 30. 05. 2010 10:59

Re: Deltoid

#5 30. 05. 2010 11:07

Re: Deltoid

#6 30. 05. 2010 11:12 — Editoval BakyX (30. 05. 2010 11:52)

Re: Deltoid

#7 30. 05. 2010 13:21

Re: Deltoid

#8 30. 05. 2010 13:34

Re: Deltoid

#9 30. 05. 2010 13:38

Re: Deltoid

#10 30. 05. 2010 13:48

Re: Deltoid

#11 30. 05. 2010 15:17 — Editoval jelena (30. 05. 2010 15:19)

Re: Deltoid

#12 03. 06. 2010 13:15

Re: Deltoid

#13 06. 06. 2010 11:50

Re: Deltoid

#14 06. 06. 2010 12:12

Re: Deltoid

#15 06. 06. 2010 12:52

Re: Deltoid

#16 06. 06. 2010 12:54 — Editoval BakyX (06. 06. 2010 12:54)

Re: Deltoid

#17 06. 06. 2010 14:39

Re: Deltoid

#18 06. 06. 2010 14:45

Re: Deltoid

#19 31. 05. 2020 11:06 — Editoval Cenobita (31. 05. 2020 11:18)

Re: Deltoid

#20 31. 05. 2020 11:10

Re: Deltoid

#21 31. 05. 2020 11:12

Re: Deltoid

#22 31. 05. 2020 11:20

Re: Deltoid

Zápatí