Matematické Fórum

vingl · 31. 05. 2020 07:46

konstruoval jsem takto:
1. k_v; k_v(S_v,ρ) .... libovolně
2. T_c; T_c ∈ k_v ... lib.
3. p; p je kolmice na S_vT_c
4. zorný úhel α/2=20 nad S_vT_c .... kružnice m
5. A; A(m∩p)
6. c; c(A,t_a)
7. T_a; T_a(k_v∩c)
8. →AT_b
9. k; k je kolmice na S_vT_a
10. C; C(→AT_b∩k)
11. B; B(p∩k)
12. Δ ABC

jenže z toho vyplynulo, že má-li mít úloha řešení (jediné), musí se kružnice c dotýkat kružnice k_v a vznikne pak rovnoramenný Δ. (takže, velikost ta je zbytečná?)

Je to správně?

surovec

↑ vingl:
Úloha je řešitelná, jestliže $t_a\ge \rho\left( 1+\frac{1}{\sin\frac{\alpha}{2}}\right)$ , přičemž jedno řešení nastává při rovnosti (rovnoramenný trojúhelník) a dvě v ostatních případech.

vingl · 31. 05. 2020 15:36

↑ surovec:
kružnice c o tomto poloměru však neprotne vepsanou kružnici kv. Jak tedy zjistím bod dotyku?

surovec · 31. 05. 2020 16:36

↑ vingl:
Možná bys měl začít celým zadáním. Jsou zadány nějaké konkrétní rozměry? Ve třetím kroku ta kolmice vede libovolným bodem?

Honzc · 31. 05. 2020 16:52

↑ vingl:
Co píše surovec je pravda.
Tady je výpočet (zase přes $k=b+c$ )
$k=2\varrho (\text{tg}\frac{\alpha }{2}+\sqrt{\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}+\frac{t_{a}^{2}}{\varrho ^{2}}-1})$
$b,c=\frac{k}{2}\pm \varrho \sqrt{\frac{1}{\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}}-\frac{k}{\varrho \text{tg}\frac{\alpha }{2}}+(\frac{t_{a}}{\varrho })^{2}}$
$a=k-\frac{2\varrho }{\text{tg}\frac{\alpha }{2}}$

Tohle by snad bylo možné zkonstruovat eukleidovsky.

vingl · 31. 05. 2020 18:18

↑ surovec:
$\alpha =40, ta=7, \varrho =1,5$
kolmice vede bodem Tc
výpočtem: ta=5,89
ale kružnice c z bodu A o poloměru ta však neprotne vepsanou kružnici kv, takže nemohu nalést body dotyku

vingl · 31. 05. 2020 18:20

↑ Honzc:
na to nestačím

surovec · 31. 05. 2020 19:01

↑ vingl:
Ale pata těžnice přece u nerovnoramenného trojúhelníku neleží na kružnici vepsané. Takže tvá konstrukce je špatně, ale nic si z toho nedělej, pokud vím, tuto konstrukci lze provést jen na základě výpočtu, a když se podíváš na tvar délek stran, které uvedl ↑ Honzc:, tak to bude ukrutně, ale ukrutně dlouhé a nepřehledné.

Honzc · 31. 05. 2020 21:40

↑ vingl:
Tady máš obrázek, kde je to vypočítané a částečně zkonstruované z tvých zadaných hodnot. (není to tedy čistě eukleidovská konstrukce-to nevím jak)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vingl · 01. 06. 2020 07:32

↑ Honzc:
pro mě to znamená, že vypočítám strany a $\triangle ABC$ sestrojím dle věty sss?

surovec · 01. 06. 2020 09:52

↑ vingl:
To ne, to by nebylo konstrukční řešení. Ty strany vypočítáš jen obecně (vzorec) a na základě toho vzorce provádíš konstrukci. A to by v tomto případě bylo skoro nepoužitelné. Prostě tuto konstrukci vzdej, pokud vím, opravdu nějaká rozumná v tomto případě není, i když je to euklidovsky konstruovatelné. Ale pro zajímavost, kde jsi k tomu příkladu přišel, zadal učitel?

vingl · 01. 06. 2020 10:07

↑ surovec:
ne,ne. Mě už učitelé nic nezadávají. Já si chci z dlouhé chvíle nakreslit "všechny" trojúhelníky zadané stranou, úhlem, výškou, těžnicí a kružnicemi, event, délkou osy úhlu. Mám jich zvládnutých asi 80.

Díky za spolupráci. Určitě si něco pro tebe připravím

vanok · 01. 06. 2020 10:36 — Editoval vanok (01. 06. 2020 10:37)

Ahoj ↑ vingl:
Poznamka.

Zozen si niekde zoznam euklidovsky nekonstrukovatelnych trojuholnikov.

Ten tvoj, sa mi zda je tiez taky.

(Ak vyjadris jeho strany a, b, c pomocou danych prvkov najdes vyrazy, ktore ti to potvrdia .... alebo vyvratia)

surovec · 01. 06. 2020 14:25

↑ vanok:
Je euklidovsky konstruovatelný.

Honzc · 01. 06. 2020 14:57 — Editoval Honzc (02. 06. 2020 11:33)

↑ vingl:
Euklidovsky nekonsruovatelné trojúhelníky viz. Zde str.45,46 (tedy trojúhelník a,ta,ró není e.k., kdežto alfa,ta,ró e.k.je)
Ještě ke konstrukci alfa,ta,ró.(euklidovská konstrukce)
Lze setrojit k (=b+c)
$k=2\rho (\text{tg}\frac{\alpha }{2}+\sqrt{\text{tg}^{2}\frac{\alpha }{2}+\frac{t_{a}^{2}}{\rho ^{2}}-1})$
A pak z rovnice $k-a=\frac{2\rho }{\text{tg}\frac{\alpha }{2}}$ i a.
Pro další konstrukci využijeme vztahu $a=2r\sin \alpha$ a zkonstrujeme r
Dále využijeme vztahu pro vzdálenost středů kružnice opsané a vepsané $d=\sqrt{r(r-2\rho) }$
A je to hotové.
Podmínky řešitelnosti $t_{a}\ge \rho (1+\frac{1}{\sin \frac{\alpha }{2}})$
Při rovnosti 1 řešení, jinak 2 (osově souměrné podle osy úsečky a)
Na obrázku je to tak provedené (i když je to dost špatně vidět)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 01. 06. 2020 16:05 — Editoval vanok (02. 06. 2020 03:45)

Ahoj ↑ surovec:,
Poznamka (tykajuca sa takychto problemov. )
Mas urcite pravdu.
Preto som napisal tu otazku v otvorenej forme. ( pokial nemame dokaz, tak sa mam vela veci moze zdat.... no ale az po dokaze mozme nieco iste povedat)
No tak ci tak treba, co sa tyka euklid-konstruhovatelnosti, treba dokazat, ( ak chceme mat analytickej dokaz) ze kazda jeho strana sa da napisat ako funkcia danych prvkov ktora splnuje urcite podmienky (ake?)
( Alebo mozme casto pouzit aj napr. metodu analyza- synteza...)
Tiez je jasne, ze niekto chce dokladne vyriesit taketo problemy, tak by mal urobit aj uplnu diskuziu riesitelnosti.

Pozdravujem tiez ↑ Honzc:,
Tvoj odkaz je zaujimavy, a iste moze dat dobre myslienky, co sa tyka takychto problemov.

Edit.
Uziitocne odkazy:
http://www.cut-the-knot.org/triangle/index.shtml
https://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=18693

Matematické Fórum

#1 31. 05. 2020 07:46

konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

#2 31. 05. 2020 08:47 — Editoval Cheop (31. 05. 2020 08:48) Příspěvek uživatele Cheop byl skryt uživatelem Cheop. Důvod: jiný příklad, špatně jsem se podíval na zadání

#3 31. 05. 2020 12:40 — Editoval surovec (31. 05. 2020 12:41)

Re: konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

#4 31. 05. 2020 15:36

Re: konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

#5 31. 05. 2020 16:36

Re: konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

#6 31. 05. 2020 16:52

Re: konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

#7 31. 05. 2020 18:18

Re: konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

#8 31. 05. 2020 18:20

Re: konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

#9 31. 05. 2020 19:01

Re: konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

#10 31. 05. 2020 21:40

Re: konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

#11 01. 06. 2020 07:32

Re: konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

#12 01. 06. 2020 09:52

Re: konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

#13 01. 06. 2020 10:07

Re: konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

#14 01. 06. 2020 10:36 — Editoval vanok (01. 06. 2020 10:37)

Re: konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

#15 01. 06. 2020 14:25

Re: konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

#16 01. 06. 2020 14:57 — Editoval Honzc (02. 06. 2020 11:33)

Re: konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

#17 01. 06. 2020 16:05 — Editoval vanok (02. 06. 2020 03:45)

Re: konstrukce trojúhelníku - zadání: alfa, ta, ro

Zápatí