Matematické Fórum

marostul · 01. 06. 2020 16:13

Veľkosť amplitúd& pri postupnom vlnení má vzorec $y=y_{0}\sin (\frac{2\pi }{Tv}x-\frac{2\pi }{T} t)$ . poznám maximálnu amplitúdu, rýchlosť vlnenia, frekvenciu a udal som si vzdialenosť x. Akú hodnotu mám vložiť za t. amplitúda sa pri vlnení dá vypočítať amplitúda jednoducho podľa času $y=y_{0}\sin \omega t$ . Ja poznám iba vzdialenosť ale čas nepoznám ale poznám rýchlosť. ďakujem za radu

Jj · 01. 06. 2020 17:19

↑ marostul:

Nejsem si jistý, v na co se přesně ptáte. Řekl bych, že pokud je amplituda zadána rovnicí

$y=y_{0}\sin(\frac{2\pi }{Tv}x-\frac{2\pi }{T} t) =y_{0}\sin$\frac{2\pi}{T }\(\frac{x}{v}- t$\) =$
$=y_{0}\sin$2\pi f\(\frac{x}{v}- t$\)$

tak ta vyjadřuje velikost amplitudy na místě 'x' v závislosti na čase t (t je nezávisle proměnná, vše ostatní na pravé straně rovnice znáte).

MichalAld · 01. 06. 2020 18:15

Pokud jde o postupnou vlnu (což je tenhle případ) tak neexistuje žádná "maximální amplituda", amplituda je prostě to $y_0$ a na poloze ani čase nezávisí. A y není amplituda, ale okamžitá výchylka (či okamžitá hodnota veličiny, podle toho, co se vlastně vlní).

marostul · 03. 06. 2020 15:09

ďakujem za vysvetlenie. vlnová rovnica je odvodená druhou parciálnou deriváciou podľa času a vzdiajenosti funkcie $y(x,t)=A\sin (kx-\omega t)$ po derivácii má tvar podľa času $\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}=\omega ^{2}A\sin (kx-\omega t)$ a podľa vzdialenosti $\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}=k ^{2}A\sin (kx-\omega t)$ . chcel by som sa opýtať aké je odvodenie tohto vzťahu. ďakujem vopred za odpoveď

MichalAld · 03. 06. 2020 16:33

Vlnová rovnice je

$\frac{1}{v^2} \frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}=\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}$

Lze celkem jednoduše ověřit, že každá funkce typu $y = f(x-vt)$ nebo $y = f(x+vt)$ tuto rovnici splňuje.

Nevím jestli lze samotnou vlnovou rovnici nějak z něčeho odvodit, v konkrétních situacích (jako třeba na struně či ve vzduchu) ji lze získat z newtonovy mechaniky za pomocí takových hacků - které si nejsem jistý, jestli lze považovat za odvození v matematickém slova smyslu.

Vlnovou rovnici pro elektromagnetické pole lze naproti tomu odvodit přímo z Maxwellových rovnic pomocí asi 3 jednoduchých kroků.

Jinak nevím, co přesně myslíš tím odvozením.

marostul · 04. 06. 2020 11:12

nerozumiem ako sme dostali $-\omega ^{2}$ a $-k ^{2}$ vo vzorcoch. ja som zle tie rovnice zapísal majú mať tvar $\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}=-\omega ^{2}\sin (kx-\omega t)$ a $\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}=-k ^{2}\sin (kx-\omega t)$ . ako vlastne zderivujeme 2x parciálne deriváciu funcie $y(x,t)=\sin (kx-\omega t)$

Ferdish

↑ marostul:
$-\omega ^{2}$ i $-k ^{2}$ pred výrazmi vzniknú vďaka druhej derivácií funkcie sínus podľa vety o derivácii zloženej funkcie ( $\omega$ a $k$ sú konštanty):

$&\frac{\partial\sin (kx-\omega t) }{\partial t }=\cos (kx-\omega t)\cdot (-\omega )=-\omega \cos (kx-\omega t)\\ &\frac{\partial^2\sin (kx-\omega t) }{\partial t^2 }=\frac{\partial }{\partial t}[-\omega \cos (kx-\omega t)]=(-\omega)\cdot \frac{\partial }{\partial t} \cos (kx-\omega t)=(-\omega)\cdot [-\sin (kx-\omega t)]\cdot (-\omega)=-\omega ^{2}\sin (kx-\omega t)$

Analogický postup platí aj pre $\frac{\partial^2\cos (kx-\omega t) }{\partial x^2 }$ .

marostul · 04. 06. 2020 14:11

Dakujem za vysvetlenie. mýlilo ma deriviovanie $y=\sin \omega t\Rightarrow y^{,}=\omega \cos t$ a nie $y=\sin \omega t\Rightarrow y^{,}=\omega \cos\omega t$

marostul · 05. 06. 2020 15:15

ešte by som mal doplňujúcu otázku k predchadzajúcim príkladom. rovnica pre $\sin 2x=2\cdot (\sin x\cdot \cos x)$ . platí táto rovnica aj pre vzorec $\sin nx=n\cdot (\sin x\cdot \cos x)$ ďakujem vopred za odpoveď

Honzc · 05. 06. 2020 17:22

↑ marostul:
Ne neplatí
$\sin nx=n\cdot \sin x\cos ^{n-1}x-{n \choose 3}\sin ^{3}x\cos^{n-3} x+{n \choose 5}\sin ^{5}x\cos^{n-5} x...$

marostul · 05. 06. 2020 21:43

Ďakujem za vysvetlenie. podľa akého vzorca sa derivuje vzorec $\frac{\partial \sin (kx-\omega t)}{\partial t}=\omega \cos (kx-\omega t)$ . preto som sa pýtal na predchadzajúci príspevok.

Ferdish · 05. 06. 2020 23:22

↑ marostul:
Nenazval by som to vzorcom, ale skôr princípom. A nazýva sa princíp derivácie zloženej funkcie.

Ak by si nebol lenivý hľadať, našiel by si napr. Odkaz.

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2020 16:13

vlnová rovnica

#2 01. 06. 2020 17:19

Re: vlnová rovnica

#3 01. 06. 2020 18:15

Re: vlnová rovnica

#4 03. 06. 2020 15:09

Re: vlnová rovnica

#5 03. 06. 2020 16:33

Re: vlnová rovnica

#6 04. 06. 2020 11:12

Re: vlnová rovnica

#7 04. 06. 2020 11:51 — Editoval Ferdish (23. 04. 2021 13:26)

Re: vlnová rovnica

#8 04. 06. 2020 14:11

Re: vlnová rovnica

#9 05. 06. 2020 15:15

Re: vlnová rovnica

#10 05. 06. 2020 17:22

Re: vlnová rovnica

#11 05. 06. 2020 21:43

Re: vlnová rovnica

#12 05. 06. 2020 23:22

Re: vlnová rovnica

Zápatí