Matematické Fórum

Andrew123

Ahoj, počítám si příklady ze sbírky aplikované statistiky (skripta VŠCHT) a s jedním příkladem si moc nevím rady. Jedná se o kapitolu Základy regresní analýzy. Text příkladu je následujici:

Zadání:
Předpokládejme, že prodloužení pružiny $\Delta l$ závisí na zatěžovací síle $F$ v rozmezí $<0,1>$ lineárně: $\Delta l=k. F$ . Aby se při odhadu konstanty $k$ omezil vliv náhodných chyb měření $\{e_i\}$ , o kterých se predpokládá, že jsou to nezávislé náhodné veličiny, splňujcí rovnice $E(e_i)=0$ , $D(e_i)=\sigma ^{2}$ , bylo rozhodnuto měření desetkrát opakovat. Získané hodnoty $(F_1,\Delta l_1)$ , ..., $(F_{10},\Delta l_{10})$ splňují vztahy $\Delta l_i=k.F_i+e_i$ , $i=1,...,10$ . Jak volit hodnoty $F_1,...,F_{10}$ $\in <0,1>$ , aby odhad $\hat{k}$ , získaný metodou nejmenších čtverců, byl nejlepší, tj. měl nejmenší rozptyl? Jaký bude mít při optimální volbě $\{F_i\}$ odhad $\hat{k}$ tvar?

Správný výsledek ve sbírce je uveden:
$F_1=F_2=...F_{10}=1, k=\bar{\Delta l}$ .

Můj neúplný začátek postupu:
Počítám se vztahem $y_i=k.x_i$ , kde $x_i$ odpovídá $F_i$ a $y_i$ odpovídá $\Delta l_i$ . Vztah pro rozptyl jsem si našel, že je nasledující: $s^2=\frac{1}{n-1}.\frac{\sum y_j^2 \sum x_j^2 - (\sum y_j^2 x_j^2)}{\sum x_j^2}$ . Předpokládám, že je mým cílem minimalizovat tuto funkci $s^2$ . Je to tak? Jedná se však o funkci s 10 proměnnými, což není jednoduché. Očekávám, že by to mělo jít vyřešit nějak jednodušeji a nějakým trikem. Nejedná se o žádný příklad s hvězdičkou či tak něco.

Může mi někdo prosim poradit, jak dojít k výsledku?

Dekuji, Andrew

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2020 21:05 — Editoval Andrew123 (08. 06. 2020 21:06)

Základy lineární regrese - odhad koeficientu s nejmensim rozptylem

Zápatí