Matematické Fórum

houba · 08. 06. 2009 16:48 — Editoval houba (08. 06. 2009 16:48)

Zdravím lidi, tak se na vás musím obrátit :-( Snažil sem se celý den, ale pořád nevím, jak na to... Na cviku sme se k tomu nedostali a na přednášce sem nebyl a na internetu sem se snažil vyčíst, jak na to, ale nevím, nevím :-(
Tady je moje semestrálka a v ní potřebuju tu poslední část posledního příkladu... Vůbec nevím, jak to řešit a naše profesorka chce i řešení... Nepomůžete mi s tím prosím?? :-) Nějakej pokus tam byl, spočítal jsem a0, ak(nejspíš nula) a bk (to mi vyšlo prapodivně) ... Děkuju za každou pomoc... V pátek to musím odevzdat a potřebuju mít dobře i tu poslední část :-) Můžu nafotit ty předchozí části příkladu a ten pokus o tenhle příklad, jestli to k tomu je potřeba :-) Děkuju moc za každou pomoc :-)

jelena · 08. 06. 2009 21:31

↑ houba:

Zdravím,

tady kolega lukaszh rozebral celé zadání: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=9325

Když tam nebudou pro mne taková strašná slova "na zadaném prostoru se skalárním součínem", tak bych se snad nebala Fouriera - nahradte, prosím, tato slova, prosím nějak "srozumitelně pro jeleny", děkuji :-)

houba · 08. 06. 2009 21:39

No kouknul jsem na to a je to asi nějakej kluk ze stejný školy...
Bohužel z toho vysvětlení už vše mám, jde mi pouze o ty Fourierovy řady, ta jediná část mi chybí a nevím, co s tím :-( Najde se někdo? :-)

lukaszh · 08. 06. 2009 23:31

↑ houba:
Našiel som na všeobecný prípad vzorce
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)$
Pričom pre koeficienty platí
$a_0=\frac{1}{l}\int_{c}^{c+2l}f(x)\,\rm{d}x\nla_n=\frac{1}{l}\int_{c}^{c+2l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,\rm{d}x\nl b_n=\frac{1}{l}\int_{c}^{c+2l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,\rm{d}x$

V tvojom prípade by som volil $c=0$ a $l=\frac{1}{2}.$
$a_0=2\int_{0}^{1}x^3\,\rm{d}x\nl a_n=2\int_{0}^{1}x^3\cos(2n\pi x)\,\rm{d}x\nl b_n=2\int_{0}^{1}x^3\sin(2n\pi x)\,\rm{d}x$
Počítať sa mi to nechce, je to aj trocha zbytočné, program mi to vypočítal nasledovne
$\frac{a_0}{2}=\frac{1}{4}\nl a_n=\frac{3}{2\pi^2n^2}\nl b_n=\frac{3-2\pi^{2}n^{2}}{2\pi^{3}n^{3}}$

Celkovo ten rad by mal vyzerať takto
$f(x)=\frac{1}{4}+\sum_{n=0}^{\infty}\left[\frac{3}{2\pi^2n^2}\cos(2n\pi x)+\frac{3-2\pi^{2}n^{2}}{2\pi^{3}n^{3}}\sin(2n\pi x)\right]$

Kondr · 09. 06. 2009 01:34

↑ lukaszh:Bohužel funkce cos(nx) ani sin(nx) nejsou ze zadaného prostoru a navíc nejtvoří vzhledem k zadanému skalárnímu součinu ortonormální systém. Ten Fourier by se měl počítat vzhledem k nějaké ortonormální bázi toho prostoru, např. té, kterou jsi našel v odkazovaném tématu. Tvar rozvoje bude $x^3=a_0e_0+a_1e_1+a_2e_2$ , kde $a_i=\int_0^1e_i(x)\cdot x^3\mathrm{d}x$ .

Doporučená literatura: http://bart.math.muni.cz/~brkos/files/d … 99ady.pptx ;)

houba · 09. 06. 2009 09:49

Kondr napsal(a):
↑ lukaszh:Bohužel funkce cos(nx) ani sin(nx) nejsou ze zadaného prostoru a navíc nejtvoří vzhledem k zadanému skalárnímu součinu ortonormální systém. Ten Fourier by se měl počítat vzhledem k nějaké ortonormální bázi toho prostoru, např. té, kterou jsi našel v odkazovaném tématu. Tvar rozvoje bude $x^3=a_0e_0+a_1e_1+a_2e_2$ , kde $a_i=\int_0^1e_i(x)\cdot x^3\mathrm{d}x$ .

Doporučená literatura: http://bart.math.muni.cz/~brkos/files/d … 99ady.pptx ;)

Díky moc, mě to s tou funkcí sinus a cosinu nějak nešlo do hlavy. Tohle dává větší smysl.. Ortonormální bázi sem vypočítal v tom samym příkladě v části c). Akorát bych se tě chtěl zeptat, neměl by v tom rozvoji ( $x^3=a_0e_0+a_1e_1+a_2e_2$ ) být místo $x^3$ $f(x)$ ?? Díky za odpověď

kaja(z_hajovny) · 09. 06. 2009 09:52

↑ houba:
podle zadani je f(x)=x^3 :)

houba · 09. 06. 2009 10:06

Ajo :-) Tak posnídam, spočítam a dam vědět, jak to dopadlo :-) Zatim děkuju :-)

Rumburak · 09. 06. 2009 15:29

↑ Kondr:, ↑ houba:
Vzhledem k tomu, že funkce $e_i$ jsou z prostoru polynomů stupně nejvýše druhého, potom vztah $x^3=a_0e_0+a_1e_1+a_2e_2$
sotva může platit na množině více než tříbodové. Asi bych raději psal $F_{x^3}=a_0e_0+a_1e_1+a_2e_2$ , kde $F_{x^3}$ (nebo nějak podobně)
je Fourierovou řadou přiřazenou dotyčné funkci. Bude to příklad , kdy součet F.ř. není roven původní funkci.
Nebo se pletu ?

houba · 18. 06. 2009 14:36

Tak jsem to spočítal podle poslední rady a je to nejspíš dobře, protože za to mám plný počet bodů... Děkuji :)

Matematické Fórum

#1 08. 06. 2009 16:48 — Editoval houba (08. 06. 2009 16:48)

Jak spočítat Fourierovu řadu

#2 08. 06. 2009 21:31

Re: Jak spočítat Fourierovu řadu

#3 08. 06. 2009 21:39

Re: Jak spočítat Fourierovu řadu

#4 08. 06. 2009 23:31

Re: Jak spočítat Fourierovu řadu

#5 09. 06. 2009 01:34

Re: Jak spočítat Fourierovu řadu

#6 09. 06. 2009 09:49

Re: Jak spočítat Fourierovu řadu

Kondr napsal(a):

#7 09. 06. 2009 09:52

Re: Jak spočítat Fourierovu řadu

#8 09. 06. 2009 10:06

Re: Jak spočítat Fourierovu řadu

#9 09. 06. 2009 15:29

Re: Jak spočítat Fourierovu řadu

#10 18. 06. 2009 14:36

Re: Jak spočítat Fourierovu řadu

Zápatí