Matematické Fórum

Margherita · 10. 06. 2020 21:25

Dobrý večer, prosím o pomoc s následujícím příkladem:

Vypočítejte souřadnice těžiště nehomogenní rotační plochy, která vznikne otáčením části křivky $y=\sqrt{x}$ , pro $x\in [0;1]$ , kolem osy x. Hustota této rotační plochy je v každém zadaném bodě přímo úměrná druhé mocnině její x-ové souřadnice.

Ptám se za spolužáka. Chtěla jsem mu s příkladem pomoci, ale bohužel též nevím, co s tím. (Jsme chemici a s matematikou tohoto typu bojujeme.)

Děkuji mnohokrát za jakoukoliv pomoc.

laszky · 11. 06. 2020 00:22

↑ Margherita:

Ahoj. Parametrizace plochy je $\psi(s,t)=(s,\sqrt{s}\cos t, \sqrt{s}\sin t)$ , kde $s\in[0,1]$ a $t\in[0,2\pi]$ .

Gradient teto parametrizace je pak matice 3x2, ktera ma v prvnim sloupecku derivace parametrizace podle s, v druhem sloupecku derivace podle t.

Spocitej vektor w, ktery je vektorovym soucinem obou sloupecku. Jakobian J teto parametrizace je pak norma (velikost) vektoru w.

Hmotnost plochy $m$ spocitas jako dvojny integral z hustoty. Staticky moment $S_{yz}$ vzhledem k rovine yz spocitas jako integral z (x * hustota). x-ova souradnice teziste je pak $\frac{S_{yz}}{m}$ .

Mne vychazi:

$J=\sqrt{s+\frac{1}{4}}$

$m=\int_0^1\int_0^{2\pi} a\cdot s^2\cdot\sqrt{s+\frac{1}{4}}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}s$

$S_{yz} = \int_0^1\int_0^{2\pi} a\cdot s^3\cdot\sqrt{s+\frac{1}{4}}\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}s$

Matematické Fórum

#1 10. 06. 2020 21:25

Souřadnice těžiště nehomogenní rotační plochy

#2 11. 06. 2020 00:22

Re: Souřadnice těžiště nehomogenní rotační plochy

Zápatí