Matematické Fórum

Matytus

Dobrý den,
bohužel nás ve škole zastihlo samostudium a moc se nechytám u tohoto příkladu (a jemu podobných). Určete křivkový integrál $\int_{}^{}\overrightarrow{A}d\overrightarrow{r}$ v mezích $0\le t\le \frac{\pi }{2}$ , když $\overrightarrow{A}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ a $\overrightarrow{r}=(\sin ^{2}t)\overrightarrow{i}+\frac{1}{2}(1+\cos 2t)\overrightarrow{j}+(t^{2}-\frac{\pi }{2}t)\overrightarrow{k}$ . V našich skriptech je o tomto tématu pouze teoretické odvozování a žádný příklad, použil jsem proto tento text: fstroj.uniza.sk/kam/simon/Knihy/Dosly.pdf (str.53). Pochopil jsem, že $dx=2\sin t\cos t=\sin 2tdt$ , $dy=-2\sin 2tdt$ a $dz=(2t-\frac{\pi }{2})dt$ a pak počítám $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(xdx+ydy+zdz)=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\sin ^{2}t\sin 2t+\frac{1}{2}(1+\cos 2t)(-2\sin 2t)+(t^{2}-\frac{\pi }{2}t)(2t-\frac{\pi }{2}))dt$ ?Zatím jsem neroznásoboval, ale ten integrál mi příjde ,,děsný" (ale zřejmě se tam něco po úrpavě zkrátí). Postupuji takto dobře nebo jsem úplně mimo?Moc děkuji.

laszky · 09. 06. 2020 21:25

↑ Matytus:

Ahoj. Rekl bych, ze dy je spatne spocitane (jeste se nasobi 1/2). Ale ano, takto to je spravne. Existuje vsak i jednodussi postup. Protoze vektorove pole je nerotacni v jednoduuse souvisle oblasti, je i konzervativni a potencialni. Jinou moznosti vypoctu tedy je zvolit liibovolnou jinou (jednodussi) krivku mezi pocatecnim bodem [0,1,0] a koncovym bodem [1,0,0]. Integral musi vyjit stejne. Nebo muzes spocitat potencial vektorovho pole a urcit rozdil potencialu v obou bodech.

Matytus · 11. 06. 2020 15:42

↑ laszky:
Dobrý den,
moc děkuji. Děsil jsem se, ale po úpravách jsem se dostal k integrálu $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\sin ^{3}t\cos t-\sin ^{3}t\cos ^{3}t+\sin ^{5}t\cos t+2t^{3}-\frac{3}{2}\pi t^{2}+\frac{\pi ^{2}}{4}t)dt$ , který i když vypadá dlouze, jde už lehce dořešit.

laszky · 11. 06. 2020 16:35 — Editoval laszky (11. 06. 2020 16:52)

↑ Matytus:

Nejjednodussi zpusob je urcit ten potencial, ktery ma tvar $f(x,y,z)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2}z^2$ , potom

$\int_C \vec{A}\,\mathrm{d}\vec{r} \; = \; f(1,0,0)-f(0,1,0) = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.$

Matytus · 11. 06. 2020 16:42

↑ laszky:
A, takže ono to výjde nakonec 0? To jsem se někde sekl ve výpočtech?

laszky · 11. 06. 2020 16:58

↑ Matytus:

Ano, vyjde to urcite nula.

Matytus

↑ laszky:
Dobrý den, děkuji. Já se nyní koukám, že jsem se přepsal, mělo být $\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+xy\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ , v poznámkách to upraveno mám i ten poslední integrál ,co jsem uváděl vychází z tohoto. Ovlivní toto výsledek?

laszky · 11. 06. 2020 18:03

↑ Matytus:

Ano, ovlivni.

Matytus · 11. 06. 2020 18:15

↑ laszky:
Dobrý den,
moc děkuji, původně mělo být takto: $\overrightarrow{A}=x\overrightarrow{i}+xy\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ a $\overrightarrow{r}=(\sin ^{2}t)\overrightarrow{i}+\frac{1}{2}(1+\cos 2t)\overrightarrow{j}+(t^{2}-\frac{\pi }{2}t)\overrightarrow{k}$ . Odtud jsem se dostal k integrálu $\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\sin ^{3}t\cos t-\sin ^{3}t\cos ^{3}t+\sin ^{5}t\cos t+2t^{3}-\frac{3}{2}\pi t^{2}+\frac{\pi ^{2}}{4}t)dt$ , který mi vyšel $\frac{1}{3}$ . Omlouvám se za zmatky.

laszky · 11. 06. 2020 21:13

↑ Matytus:

Ok, mas to dobre ;-)

Matytus · 12. 06. 2020 04:40

↑ laszky:
Moc Vám děkuji a ještě jednou se omlouvám za zmatek

Matematické Fórum

#1 09. 06. 2020 19:02 — Editoval Matytus (09. 06. 2020 19:03)

Křivkový integrál

#2 09. 06. 2020 21:25

Re: Křivkový integrál

#3 11. 06. 2020 15:42

Re: Křivkový integrál

#4 11. 06. 2020 16:35 — Editoval laszky (11. 06. 2020 16:52)

Re: Křivkový integrál

#5 11. 06. 2020 16:42

Re: Křivkový integrál

#6 11. 06. 2020 16:58

Re: Křivkový integrál

#7 11. 06. 2020 17:46 — Editoval Matytus (11. 06. 2020 17:57)

Re: Křivkový integrál

#8 11. 06. 2020 18:03

Re: Křivkový integrál

#9 11. 06. 2020 18:15

Re: Křivkový integrál

#10 11. 06. 2020 21:13

Re: Křivkový integrál

#11 12. 06. 2020 04:40

Re: Křivkový integrál

Zápatí