Matematické Fórum

marostul · 11. 06. 2020 14:46

pri komplexných číslach keď počítame ako exponenciálne dostaneme $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ čomu veľmi dobre rozumiem. funkcia vo vlnovej rovnici má tvar $\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}=\frac{1}{v}\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2} }$ parciálne derivácie maju tvar $\frac{\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}=-k^{2}A\sin (kx-\omega t)$ a $\frac{\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}=-\omega ^{2}A\sin (kx-\omega t)$ . funkciu $y=A\sin (kx-\omega t)$ môžeme napísať ako $y=Ae^{i(kx-\omega t) }$ . keby som to chcel rozpísať dostanem rovnicu $y=A\frac{e^{ikx}}{e^{i\omega t}}=Ae^{i(kx-\omega t) }$ . čo môžeme ďalej rozpísať na rovnicu $y=A\frac{e^{ikx}}{e^{i\omega t}}=A\frac{\cos kx+i\sin kx}{\cos \omega t+i\sin \omega t}$ . chcem sa opýtať ako odvodím ten prepočet aby sa rovnalo $A\frac{\cos kx+i\sin kx}{\cos \omega t+i\sin \omega t}=A\sin (kx-\omega t)$ ďakujem za vysvetlenie

MichalAld · 11. 06. 2020 15:34

marostul napsal(a):
Funkciu $y=A\sin (kx-\omega t)$ môžeme napísať ako $y=Ae^{i(kx-\omega t) }$ .

Ve skutečnosti to tak není. Ve skutečnosti je to tak, že

$y=A\sin (kx-\omega t) = \frac{A}{2i}e^{i(kx-\omega t) } - \frac{A}{2i}e^{-i(kx-\omega t) }$

Ale protože rovnice je lineární, tak se dá řešení najít pro každý ten člen zvlášť ... a protože se to pak liší jen znaménkem, tak se to nemusí dělat. A ta konstanta obsahující i také způsobí jen vynásobení řešení stejnou konstantou. Proto se dá namísto řešení pro sin(x) hledat řešení pro e^x, protože je vlastně stejné.

marostul · 12. 06. 2020 12:09

preštudoval som to trochu na webe. členy kx a omegat sú bezrozmerné a dajú sa odčítať. tým sa vyrieši exponent. v podstate je to násobok pí. keby som si upravil exponent v druho člene dostanem $-\frac{A}{2i}e^{-i(kx-\omega t)}=-\frac{A}{2i}e^{i(\omega t-kx)}$ . v tom prípade kosínusy by sa odčítali a 2i by sa vydelil. nie som si istí či uvažujem správne

marostul · 12. 06. 2020 13:54

tu som sa pomýlil malo by to byť podľa vzorca $\sin x=\frac{\mathrm{e}^{ix}-\mathrm{e}^{-ix}}{2i}$ . x by sa malo rovnať $x=(kx-\omega t)$ . funkcia $y=\mathrm{e}^{ix}$ sa dá odvodiť zo vzorca $\mathrm{e}^{ix}=1+ix+\frac{i^{2}x^{2}}{2!}+\frac{i^{3}x^{3}}{3!} +\frac{i^{4}x^{4}}{4!} +\frac{i^{5}x^{5}}{5!}+...$ . chcel by som sa opýtať podľa akého vzorca sa odvodí funkcia $y=\mathrm{e}^{-x}$ . ďakujem za odpoveď.

marostul · 12. 06. 2020 15:37

opravujem predchadzjúci príspevok. aké je odvodenie funkcie $y=\mathrm{e}^{-ix}$ podľa vzorca pre sínus by konečný vzorec mal byť $\sin x=\frac{\mathrm{e}^{ix}-\mathrm{e}^{-ix}}{2i}=\frac{(cosx+isinx) -(\cos x-isinx) }{2i}$ . pre vzorec $\mathrm{e}^{-i\pi }=1$ je počítaný ako keby tam bolo -pí. ale keď to zapíšem do vzorca pre odvodenie sínusu tak to nesedí

Ferdish · 12. 06. 2020 16:19

↑ marostul:
Máš to zrejme zle opísané. Eulerova formula je v tvare $\mathrm{e}^{i\pi }+1=0$ eventuálne $\mathrm{e}^{i\pi }=-1$ .

check_drummer · 12. 06. 2020 20:14

↑ marostul:
Ahoj, jen pro zajímavost - toto se učíte na střední škole?

misaH · 12. 06. 2020 21:17

↑ check_drummer:

Práve som zadávateľovi chcela napísať, že ak je toto učivo strednej školy, ja som pápež rímsky.

Zbytočne tu zapcháva priestor a experti na VŠ do SŠ nezabŕdajú úplne všetci.

No ale žiaden VŠ moderátor nezareagoval, čo je podľa mňa dosť symptomatické.

Ako tetaz "učím" z domu, vidím rodičov, ktorí absolútne nerozumejú, že ich deti môžu nechápať úplne jednoduché veci (zlomky, percentá, desatinné čísla, delenie dvojciferným deliteľom, hehe...)

Podobne je to podľa mňa VŠ kontra SŠ...

marostul · 12. 06. 2020 22:41

čo sa týka, komplexné čísla a eulerové číslo, odvodenie + derivácie sa učí na strednej škole elektrotechnickej. aspoň ja som sa to učil. ale priznám sa asi to malo byť prehodené v matematike. čo sa týka funkcie $\mathrm{e}^{i\pi }=-1$ ale podľa vzorca $-i\cdot -i=i\cdot i=i^{2}=-1$ musí pasovať aj vzorec $\mathrm{e}^{-i\pi }=-1$ . podľa toho sa dá odvodiť aj vzorec $\sin x=\frac{\mathrm{e}^{ix}-\mathrm{e}^{-ix}}{2i}$ . keď rozpíšeme vzorec pre $\mathrm{e}^{-ix}=\cos x-i\sin x$ . tak sa kosínusy aj 2i vo vzorci vykráti.

Ferdish · 12. 06. 2020 23:52

↑ marostul:
Áno, lenže pozri sa lepšie na svoj predošlý príspevok (#6). Tvrdíš tam že $\mathrm{e}^{-i\pi }=1$ čo nie je pravda.

Matematické Fórum

#1 11. 06. 2020 14:46

komplexné čísla

#2 11. 06. 2020 15:34

Re: komplexné čísla

marostul napsal(a):

#3 11. 06. 2020 16:23 — Editoval vanok (11. 06. 2020 17:46) Příspěvek uživatele vanok byl skryt uživatelem vanok. Důvod: Zbytocne

#4 12. 06. 2020 12:09

Re: komplexné čísla

#5 12. 06. 2020 13:54

Re: komplexné čísla

#6 12. 06. 2020 15:37

Re: komplexné čísla

#7 12. 06. 2020 16:19

Re: komplexné čísla

#8 12. 06. 2020 20:14

Re: komplexné čísla

#9 12. 06. 2020 21:17

Re: komplexné čísla

#10 12. 06. 2020 22:41

Re: komplexné čísla

#11 12. 06. 2020 23:52

Re: komplexné čísla

Zápatí