Matematické Fórum

docasne123 · 13. 05. 2009 18:17

Ahoj,
chci se zeptat jestli je možné vyjádřit 4 společné tečny pro dvě kružnice (které nemají společné body dotyku) pomocí rovnice poláry. Mám na mysli že by se do rovnice poláry jedné kružnice
$(x - m)(x_0 - m) + (y - n)(y_0 - n) = r^2$
dosadilo za "x nula" a "y nula" vyjádřené "x" a "y" z 2. rovnice kružnice. S dovolením uvedu i příklad.
$k_1 : x^2 + y^2 = 5$
$k_1 : (x - 10)^2 + y^2 = 45$
vzniká (?) =>
$p : (x - 10)[(\sqrt{5}-y) - 10]+y(\sqrt{5}-x) = 45$

Výsledek už mám spočítáný jiným způsobem, jen by mě zajímalo jestli by to teoreticky nešlo i tímto způsobem.

Děkuji

musixx · 09. 06. 2009 16:46 — Editoval musixx (09. 06. 2009 16:47)

To $p$ ale neni primka. Rovnice polary $(x_1-m)(x-m)+(y_1-n)(y-n)=r^2$ potrebuje kruznici $(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$ a bod $[x_1,y_1]$ . Umim si predstavit, ze za bod $[x_1,y_1]$ se vezme stred stejnolehlosti techto dvou kruznic (existuji dva, a to vlastne i v pripade kruznic o stejnem polomeru, uvazuji-li rozsirenou rovinu). Takovy stred se hleda snadno, staci uvazit spojnici stredu a deleni teto usecky v pomeru polomeru techto kruznic (a analogicky pro stred druhe stejnolehlosti). Pak timto stredem konstruovat polaru k jedne z kruznic a to, ze takto ziskana tecna k teto kruznici bude i tecnou ke druhe kruznici, je jasne.

musixx · 09. 06. 2009 17:07

Zkusme se zamyslet nad tím, je-li vůbec možné chtít analogicky k poláře hledat nějakou křivku p, která protíná kružnici (kružnice) právě v bodech dotyku společných tečen.

Neuvažujme žádné degenerované případy.

S polárou k jedné kružnici je to snadné: je to přímka protínající tuto jedinou kružnici ve dvou bodech.

S polárou popisující společné tečny ke dvěma kružnicím je to jiné (uvažme třeba kružnice o různých poloměrech, neležící uvnitř sebe a neprotínající se, ať je situace jasná). Taková polára určitě nebude přímka - vždyť na jedné kružnici jsou 4 body dotyku a stejně tak na druhé. Průsečíky se kterou z těchto kružnic hledáme může být dáno tím, do které rovnice kružnice "dosazujeme". Jenže "dosazovat" body z druhé kružnice se mi nezdá: vždyť žádným bodem jedné kružnice nebudou procházet dvě společné tečny ke druhé kružnici.

Ještě nad tím popřemýšlím, ale stejně si myslím, že pokud se dobereme k nějakému výsledku, tak to bude maximálně teoreticky použitelné. Jako nejsnáze spočitatelné se ji staále jeví ty středy stejnolehlostí + poláry k jedné z kružnic.

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2009 18:17

Tečny ke kružnicím - polára

#2 09. 06. 2009 16:46 — Editoval musixx (09. 06. 2009 16:47)

Re: Tečny ke kružnicím - polára

#3 09. 06. 2009 17:07

Re: Tečny ke kružnicím - polára

Zápatí