Matematické Fórum

AndrisT

Ahoj všichni :)
Nedávno jsem počítal příklad č. 10 zde :
https://www.priklady.eu/cs/fyzika/mecha … eleso.alej

V řešení jdou na příklad skrze kinetickou energii. Já jsem zkusil jinou úvahu a dostal jsem se k více méně
stejnému finálnímu vzorci až na jedno číslo - ve jmenovateli má být 2 a mě tam vyšla 4. Nevíte kde jsem udělal chybu ?
Případně jestli můj postup je úplna konina a nejde příklad takto řešit ? :)

$P=M\cdot \omega$
$P=I\cdot \alpha \cdot \omega$
$P=I\cdot \frac{\omega }{t}\cdot \omega$
$P=I\cdot \frac{\omega^{2} }{t}$
$P=I\cdot \frac{(2\cdot \pi \cdot f)^{2} }{t}$
$f=\sqrt{\frac{P\cdot t}{4\cdot\pi^{2}\cdot I }}$

Správný vzorec dle výsledku :
$f=\sqrt{\frac{P\cdot t}{2\cdot\pi^{2}\cdot I }}$

zdenek1 · 18. 06. 2020 21:50

↑ AndrisT:
Nikde, chybu udělali oni.
Předpokládají, že je výkon konstantní, což evidentně není.

edison · 18. 06. 2020 22:08

Konstantní P je požadavek zadání. Takže v tom určitě chyba řešení není.

zdenek1 · 18. 06. 2020 22:30

↑ edison:
Potom ten text chápeme každý jinak. Ale vzhledem k frázím "se musí roztočit setrvačník" a "aby za čas 10 minut dodával"
to chápu tak, že je nutné ho roztočil, čili netočil se (přinejmenším ne tak jak je požadováno) a požadovaný výkon nedodává, ale až o uplynutí zmíněné doby ho dodávat bude.
Výkon nemůže být konstantní.

edison · 19. 06. 2020 01:09 — Editoval edison (19. 06. 2020 01:12)

Jo, ta formulace je bláznivá:-)

Určete nejmenší frekvenci, na kterou se musí roztočit setrvačník s momentem setrvačnosti 305 kg.m2, aby za čas 10 minut dodával výkon 25 kW

Já si to teda vyložil tak, že se má roztočit tak, aby vydržel dodávat 25 kW po dobu 10 minut, tedy je roztáčením potřeba dosáhnout tím dané energie.

Doslovné znění podle mě nedává smysl a řešením by bylo jakékoli f>0, přičemž na zadaných číslech nezáleží.

MichalAld

Formulace samozřejmě nedává smysl, ale kdyby se namísto "za čas 10 minut dodával výkon 25kW" napsalo "po čas 10 minut dodával výkon 25kW" je to celkem jasné...

Předložený výpočet jsem ještě úplně nepochopil (protože nevím, co je to to $\alpha$ ), každápádně ale, konstantní výkon neznamená konstantní moment. Pokud má setrvačník dodávat po dobu 10 minut výkon 25kW, musí být konstantní $P = M \omega$ , tedy moment musí být $M = \frac{P}{\omega}$

Pokud tedy do "Newtonova rotačního zákona" tohle dosadíme, získáme

$I\varepsilon = M$

$I \frac{d\omega}{dt} + \frac{P}{\omega} = 0$ (doufám, že mám správně znaménka)

A tohle musíme vyřešit, jinak se podle mě k výsledku nedostaneme.

edison · 19. 06. 2020 13:26

Alfu taky nevím. Ale teď u tebe je epsilon, který mi taky není jasný. Nemá to bejt omega?

V každém případě je jasné, že řešení přes energii je míň práce.

Ferdish · 19. 06. 2020 14:05

Nebude $\alpha$ resp. $\varepsilon$ uhlové zrýchlenie?

MichalAld · 19. 06. 2020 14:38

$\epsilon$ či $\varepsilon$ je úhlové zrychlení, $\varepsilon = \frac{d \omega}{dt}$

MichalAld · 19. 06. 2020 16:02

Tak jsem to zkusil dopočítat...

$I \frac{d\omega}{dt} + \frac{P}{\omega} = 0$

znaménko mám samozřejmě naopak (takže by musel být se záporným znaménkem i ten P, aby to vyšlo jak má), takže

$\frac{d\omega}{dt} = \frac{P}{I} \frac{1}{\omega}$

separací proměnných dostaneme

$\omega d\omega = \frac{P}{I} dt$

a po integraci

$\frac{\omega^2}{2} = \frac{P}{I} t$

tedy

$\omega = (2 \pi f) = \sqrt{2\frac{P\cdot t}{I}}$

takže

$f = \sqrt{\frac{2 P t}{4 \pi^2 I}} = \sqrt{\frac{ P t}{2 \pi^2 I}}$

Odpovídá to výpočtu dle energie, kde

$Pt = E = \frac{1}{2}I \omega^2$

Ta dvojka pochází z té diferenciální rovnice. Ve skutečnosti je jedno, jakým způsobem tu energii ze setrvačníku dostaneme, jestli bude výkon konstantní, nebo moment konstantní, nebo jakkoliv jinak. Musí to vyjít vždy stejně - proto se také ty výpočty s využitím energie používají. Pokud nepotřebujeme znát detaily ohledně toho, jak se rychlost mění v čase, jsou výpočty využívající zachování energie většinou jednodušší.

Podobně když budeme počítat, jakou rychlost získá těleso padající po spirálové trajektorii z výšky h, můžeme zase využít zachování energie (a nemusíme řešit sílu podél spirálové dráhy, protože výsledek nezáleží na tom, po jaké dráze se těleso z výšky h dostane, rychlost bude mít na konci vždycky stejnou.