Matematické Fórum

2M70 · 21. 06. 2020 21:10

Zdravím,

mohl by někdo pomoci s tímto problémem?:

Mám ukázat, že funkce patří do prostoru L2, ale ne do L1.

Konkrétně se jedná o funkci

$\frac{x^{3}}{x^{4}+1}$

Současně by mě zajímalo, jak se dá dostatečně rychle určit, zda funkce patří do prostoru L1 či L2.

Předem díky za jakoukoli pomoc.

Bati · 21. 06. 2020 23:46

↑ 2M70:
To zalezi na mnozine... pokud I je omezeny, tak ta funkce patri do vsech L^p. V tvem pripade bude asi I neomezeny a pak ta funkce je v nekonecnu asymptoticky 1/x, tj. integral diverguje, kdezto druha mocnina je asymptoticky 1/x^2, coz integrovatelne je

laszky · 22. 06. 2020 01:00

↑ 2M70:

A ted si vem treba takovou funkci

$\frac{1}{\sqrt{x}+x}$

Je v L^1 nebo v L^2, a na jaky mnozine? :)

2M70 · 22. 06. 2020 12:49

↑ laszky:

Mně vychází integrál z první mocniny jako $3\pi i$ ,

integrál z kvadrátu funkce mi nevychází, při výpočtu residua v 0 (0 je dvojnásobný kořen) mi diverguje.

Tak nevím.

laszky · 22. 06. 2020 17:50

↑ 2M70:

Zkus to spocitat zvlast na mnozine $(0,1)$ a $(1,\infty)$

2M70 · 23. 06. 2020 11:47

↑ laszky:

Zkusím spočítat, ale až později, aktuálně by mě zajímalo, jak se dá rychle zjistit, zda patř funkce do L1 / L2. To je to hlavní.

nejsem_tonda · 23. 06. 2020 12:59

↑ 2M70:
To prave zalezi na tom intervalu. Na omezenych intervalech zalezi, velmi zhruba receno, na tom, jak "strme kominy" funkce vytvari. Napriklad funkce $1/|x+5|^2$ vytvari "komin" v bode -5. Tento komin je prilis "strmy" na to, aby funkce $1/|x+5|^2$ mela v okoli bodu -5 konecny integral, takze nebude v L1 na zadnem intervalu obsahujici bod -5 (napriklad na intervalu $(-10; 42)$ ).

Asi vis, ze "hranicni" mocnina je 1 - v tom smyslu, ze funkce $1/|x|^1$ ma na okoli 0 nekonecny integral stejne jako jako funkce $1/|x|^t$ , kde $t\geq1$ . Oproti tomu funkce $1/|x|^t$ , kde $t<1$ , maji na okoli nuly konecny integral, a tak jsou v prostoru L1 na intervalech obsahujicich 0, pokud na tom intervalu nemaji jiny "komin", jehoz chovani ("strmost") bychom museli vysetrit.

Pokud se vratim k funkcim typu $1/|x+5|^t$ , stalo se oproti predchozimu odstavci pouze to, ze se "komin" presunul z 0 do -5, ale jinak je situace stejna. Tedy opet je rozhodujici, zda $t\geq1$ , nebo $t<1$ .

Nakonec se jeste vratim k tem intervalum, co obsahuji $\pm\infty$ , tedy napriklad $(1; \infty)$ za predpokladu, ze vysetrovana funkce nema na tomto intervalu zadny jiny "komin". Pak je rozhodujici prave chovani te funkce v $\infty$ - dalo by se rict jeji "rychlost klesani k 0". Ja se na to divam tak, ze v $\infty$ funkce vytvareji "komin" polozeny nalezato (ve skutecnosti polozime jakoby jenom "pulku kominu", protoze pri zkoumani prostoru L^p nas zajimaji jenom kladne funkce). Zase je tedy rozhodujici, jak rychle funkce klesa k 0 v porovnani s "hranicni" funkci $1/|x|$ . Pokud klesa rychleji, presneji jeji klesani je porovnatelne s klesanim funkce $1/|x|^t$ , kde $t>1$ , tak jeji integral na intervalu $(1; \infty)$ bude konecny, zatimco pokud klesa "pomaleji", porovnatelne s funkci typu $1/|x|^t$ , kde $t\leq1$ , tak jeji integral nebude v okoli $\infty$ konecny a nebude na tomto intervalu patrit do L1.

Toto by ti mohlo dat zakladni predstavu, jak ziskat cit pro rozhodovani, zda se funkce nachazi v L1 na tom ci onom intervalu. Ve skutecnosti jsou samozrejme slozitejsi pripady nez jenom funkce typu $1/|x|^t$ , napriklad funkce $1/|x\log x|$ na intervalu $(42; \infty)$ . A da se vymyslet milion dalsich pripadu, ve kterych neni uplne trivialni rozhodnout, zda funkce je nebo neni v L1, resp. nejakem L^p.