Matematické Fórum

Maola · 22. 06. 2014 02:15

Mohla bych poprosit o výpočet tohoto příkladu? Děkuji

Rovnice tečny kružnice $x^{2}-2x+y^{2}-2y-18=0$ v bodě T $[3,5]$ je:

Freedy · 22. 06. 2014 02:42

Ahoj,

začni s tím, že danou rovnici převedeš na tvar:
$(x^2-2mx + m^2) + (y^2-2ny +n^2) = r^2$
a poté úpravou závorek na mocninu dvojčlenu:
$(x-m)^2 + (y-n)^2 = r^2$

Až budeš mít danou rovnici převedenou na středový tvar (ze kterého je okamžitě vidět, poloměr a střed kružnice), použiješ pro výpočet tečny v daném bodě obecnou rovnici tečny ke kružnici $(x-m)^2 + (y-n)^2 = r^2$ , která je:
$(x-m)(x_0-m) + (y-n)(y_0-n) = r^2$ kde $S[x_0;y_0]$ je bod dotyku.

Pokud by jsi si nevěděl rady, napiš co jsi zkusil a my ti pomůžeme dále.

Maola · 22. 06. 2014 02:54

↑ Freedy:
vyjde: x+2y-13=0 ?

Freedy · 22. 06. 2014 02:58

ano

Maola · 22. 06. 2014 03:00

velmi děkuji za spolupráci v tuto hodinu a přeji dobrou noc↑ Freedy:

marnes · 22. 06. 2014 10:00

↑ Maola:
Jen doplním, že by šlo i hned pracovat se zadanou rovnicí

Kvadratický členy se rozepíšou na součin a lineární se rozdělí na poloviny
$x^{2}-2x+y^{2}-2y-18=0$
$x\cdot x-x-x+y\cdot y-y-y-18=0\\x\cdot x_{T}-x-x_{T}+y\cdot y_{T}-y-y_{T}-18=0$

a za xT a yT se dosadí souřadnice bodu dotyku.
Výsledek bude stejný

hroch2 · 22. 06. 2014 10:06

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Zuzanka99

↑ marnes:
Dobrý večer,

viem, že tento príspevok je už pár rokov starý, ale chcela by som sa opýtať. či by ste neboli ochotný mi nejakým spôsobom dovysvetľovať ďalší postup? Pretože tomu absolutne nerozumiem.

Vopred ďakujem :)

misaH · 22. 06. 2020 00:39 — Editoval misaH (22. 06. 2020 00:56)

↑ Zuzanka99:

A čomu konkrétne nerozumieš?

Uprav rovnicu tak, aby to bola rovnica kružnice v stredovom tvare (doplnením na úplný štvorec pre x a potom pre y), tak, ako radí Freedy - je to štandardný postup...

marnes · 22. 06. 2020 08:30 — Editoval marnes (22. 06. 2020 08:43)

↑ Zuzanka99:

Pokud jsi pochopila rozepsání rovnice, tak DALŠÍ postup (snad jsem pochopil dobře, že mám dopočítat) je velice jednoduchý

$x\cdot x-x-x+y\cdot y-y-y-18=0\\x\cdot x_{T}-x-x_{T}+y\cdot y_{T}-y-y_{T}-18=0$

jak už je psáno, tak máme určit rovnici tečny v bodě $[3,5]$ proto $x_{T}=3$ a $y_{T}=5$ a tyto čísla dosadíme do rovnice

$x\cdot 3-x-3+y\cdot 5-y-5-18=0$ a upravíme

$2x+4y-26=0\\x+2y-13=0$

pozn.: stejně můžeš postupovat i pro hledání tečny "Z" bodu. Jen ta rovnice, kterou vytvoříš, nebude rovnicí tečny, ale "jen" rovnicí poláry.

Pokud by přece jen šlo i o nepochopení vytvoření rovnice tečny, tak ti uvedu ještě dva vzorové příklady. Jen připomínám, že kvadratické členy rozložíme na součin a lineární rozdělíme napůl. (jen pozor, příklady si vymýšlím a nemusí se jednat o kuželosečky)

$x^{2}-6x-y^{2}+5y-50=0\\x\cdot x_{T}-3\cdot x-3\cdot x_{T}+y\cdot y_{T}-\frac{5}{2}\cdot y-\frac{5}{2}\cdot y_{T}-50=0$

$4x^{2}+4x-3y^{2}-9y-50=0\\4\cdot x\cdot x_{T}+2\cdot x+2\cdot x_{T}-3\cdot y\cdot y_{T}-\frac{9}{2}\cdot y-\frac{9}{2}\cdot y_{T}-50=0$