Matematické Fórum

X3R0Cz · 02. 07. 2020 13:56

Ahoj,
chtěl bych poprosit o radu s následujícím příkladem.

$\int\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{x}-1}}dx$

V první řadě bych chtěl poprosit o radu, jaký výraz mám substituouvat.

$t = e^{x}-1$

Má to být tento, nebo se nabízí nějaké lepší řešení?

krakonoš · 02. 07. 2020 14:01

↑ X3R0Cz:
Substituj jmenovatele

vlado_bb · 02. 07. 2020 14:06

↑ X3R0Cz:Áno, správna substitúcia.

X3R0Cz · 02. 07. 2020 14:20

↑ krakonoš:

Díky, takže postup by byl následující:

$t = \sqrt{e^{x}-1}\\dt = \frac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}}dx$

Zderivovaný výraz v substituci už se podobá integrovanému výrazu. Čísla 1/2 u zderivovaného výrazu bych se zbavil tak, že vytknu číslo 2 před integrál, nicméně pořád v čitateli původního výrazu je e^2x, nikoli e^x, které mi vyšlo při derivaci substituce .

Předpokládám, že se existuje nějaká vhodná úprava, která mi uniká, je to tak?

krakonoš · 02. 07. 2020 14:29

↑ X3R0Cz:
Představíme-li si dosazení za dx, vše se vykrátí kromě exp(x), což odpovídá t^2+1

krakonoš

↑ X3R0Cz:
Taky by šlo upravit zadaný integrand jako $\frac{e^{x}-1}{\sqrt{e^{x}-1}}*e^{x}+\frac{e^{x}}{\sqrt{e^{x}-1}}$ . To už zintegruješ zhlavy bez substituce

X3R0Cz · 02. 07. 2020 16:58

Takže jestli to chápu správně, tak:

$t = \sqrt{e^{x}-1}\\dt = \frac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}}dx \\dx = 2\frac{\sqrt{e^{x}-1}}{e^{x}}dt$

Následně bych provedl dosazení:

$2\int\frac{e^{2x}}{\sqrt{e^{x}-1}}\cdot \frac{\sqrt{e^{x}-1}}{e^{x}}dt=2\int_{}^{}e^{x}dt = 2\int_{}^{}(t+1)^{2}dt$

Pochopil jsem to správně?

krakonoš · 02. 07. 2020 17:03

↑ X3R0Cz:
$e^{x}$ v substituci odpovídá $t^{2}+1$ , když integruješ podle t, nepíší se tam výrazy s x ale už s t

X3R0Cz · 02. 07. 2020 21:06

↑ krakonoš:

Rozumím a díky za vysvětlení.

Když tedy budu pokračovat, dostanu:

$2\int_{}^{}(t+1)^{2}dt=\frac{2}{3}t^{3}+2t^{2}+2t + c$

Po dosazení:

$\frac{2}{3}(e^{x}-1)\sqrt{e^{x}-1}+2(e^{x}-1)+2\sqrt{e^{x}-1}$

Dle výsledků, co mám k dispozici, má ale být výsledek jiný:

$\frac{2}{3}(e^{x}+2)\sqrt{e^{x}-1}+c$

Udělal jsem někde výpočetní chybu (nejsem si jí vědom), nebo musím výsledek, který mi vyšel, ještě upravit?